Prove que a transformação dada é linear, usando a definição.
.
Passo 1
O enunciado define
Queremos mostrar que
é linear, isto é, satisfaz para todos
e todo escalar
:
-
(aditividade). -
(homogeneidade).
Passo 2
Sejam
e
. Primeiro calculemos
Então
Por outro lado,
logo
Comparando coordenada a coordenada, vemos que
Passo 3
Seja
um escalar e
. Então
e
Fatorando
em cada coordenada, obtemos
Passo 4
Como
satisfaz simultaneamente a aditividade e a homogeneidade, concluímos que
é linear pela definição de transformação linear.
Resposta
A transformação
é linear.