Prove que a transformação dada é linear, usando a definição.
T(x, y, z)=(x+z, y+z, x+y).

Passo 1

O enunciado define
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z) = (\,x+z,\;y+z,\;x+y\,).
Queremos mostrar que T é linear, isto é, satisfaz para todos \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3 e todo escalar \alpha:
  1. T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) (aditividade).
  2. T(\alpha\,\mathbf{u}) = \alpha\,T(\mathbf{u}) (homogeneidade).

Passo 2

Sejam \mathbf{u} = (x_1,y_1,z_1) e \mathbf{v} = (x_2,y_2,z_2). Primeiro calculemos
\mathbf{u} + \mathbf{v} = (\,x_1 + x_2,\;y_1 + y_2,\;z_1 + z_2\,).
Então
T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = \bigl((x_1 + x_2)+(z_1+z_2),\;(y_1 + y_2)+(z_1+z_2),\;(x_1 + x_2)+(y_1 + y_2)\bigr).
Por outro lado,
T(\mathbf{u}) = (\,x_1+z_1,\;y_1+z_1,\;x_1+y_1\,), \quad T(\mathbf{v}) = (\,x_2+z_2,\;y_2+z_2,\;x_2+y_2\,),
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T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) = \bigl((x_1+z_1)+(x_2+z_2),\;(y_1+z_1)+(y_2+z_2),\;(x_1+y_1)+(x_2+y_2)\bigr).
Comparando coordenada a coordenada, vemos que
T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}).

Passo 3

Seja \alpha um escalar e \mathbf{u}=(x,y,z). Então
\alpha\,\mathbf{u} = (\alpha x,\;\alpha y,\;\alpha z)
e
T(\alpha\,\mathbf{u}) = (\alpha x + \alpha z,\;\alpha y + \alpha z,\;\alpha x + \alpha y).
Fatorando \alpha em cada coordenada, obtemos
T(\alpha\,\mathbf{u}) = \bigl(\alpha\,(x+z),\;\alpha\,(y+z),\;\alpha\,(x+y)\bigr) = \alpha\,(x+z,\;y+z,\;x+y) = \alpha\,T(\mathbf{u}).

Passo 4

Como T satisfaz simultaneamente a aditividade e a homogeneidade, concluímos que T é linear pela definição de transformação linear.

Resposta

A transformação T(x,y,z)=(x+z,\;y+z,\;x+y) é linear.

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