Dê um contraexemplo para mostrar que a transformação dada não é linear.
\mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\left(\mathrm{y}, x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado define a transformação \mathrm{T}\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por
\mathrm{T}(x,y) = (y,\;x^2).
Queremos mostrar que \mathrm{T} não é linear. Para isso basta encontrar um contraexemplo a uma das duas propriedades de linearidade: aditividade
\mathrm{T}(u+v)=\mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v)
ou homogeneidade
\mathrm{T}(c\,u)=c\,\mathrm{T}(u).

Passo 2

Testamos a homogeneidade com u=(1,0) e c=2. Primeiro calculamos
\mathrm{T}(1,0) = \bigl(0,\,1^2\bigr) = (0,1),
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2\,\mathrm{T}(1,0) = 2\,(0,1) = (0,2).
Por outro lado,
\mathrm{T}\bigl(2\,(1,0)\bigr) = \mathrm{T}(2,0) = \bigl(0,\,2^2\bigr) = (0,4).
Como (0,4)\neq(0,2), falha a homogeneidade.

Resposta

Um contraexemplo é
\mathrm{T}\bigl(2(1,0)\bigr)=(0,4)\neq(0,2)=2\,\mathrm{T}(1,0),
logo \mathrm{T} não é linear.

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