Consideremos no espaço vetorial mathbb{R}^{2} o produto interno (não habitual) dado por
\langle u, v\rangle=x_{1} y_{1}+2 x_{2} y_{2}
para todo par de vetores u=\left(x_{1}, x_{2}\right), v=\left(y_{1}, y_{2}\right). Verificar se u e v são ortogonais, em relação a esse produto, nos seguintes casos:
u=(1,1) e v=(2,-1)

Passo 1

O enunciado define no espaço \mathbb{R}^{2} o produto interno
\langle u,v\rangle = x_{1}y_{1} + 2\,x_{2}y_{2},
e pede para verificar se os vetores u=(1,1) e v=(2,-1) são ortogonais, isto é, se \langle u,v\rangle=0.

Passo 2

Substituímos u=(1,1) e v=(2,-1) na fórmula do produto interno:
\langle u,v\rangle = (1)\cdot(2) \;+\; 2\,(1)\cdot(-1).

Passo 3

Calculamos cada termo:
(1)\cdot(2)=2, \qquad 2\,(1)\cdot(-1)= -2,
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\langle u,v\rangle = 2 + (-2) = 0.

Resposta

Os vetores u e v são ortogonais em relação a esse produto interno.

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