No espaço vetorial euclidiano \mathbb{R}^{3}, sejam u=(1,2,0) e v=(3,1,4). Determinar:
\langle u, v\rangle, \quad\|u\|, \quad\|v\|, \quad d(u, v) .

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores u=(1,2,0) e v=(3,1,4) no espaço vetorial euclidiano \mathbb{R}^3. Pede-se o produto interno \langle u,v\rangle, as normas \|u\| e \|v\| e a distância d(u,v). Para resolver, vamos usar as definições do produto interno canônico, da norma induzida e da distância em \mathbb{R}^3.

Passo 2

O produto interno canônico em \mathbb{R}^3 é dado por
\langle u,v\rangle = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3.
Substituindo os componentes de u e v:
\langle u,v\rangle = 1\cdot3 + 2\cdot1 + 0\cdot4 = 3 + 2 + 0 = 5.

Passo 3

A norma induzida pelo produto interno é
\|w\| = \sqrt{w_1^2 + w_2^2 + w_3^2}.
Para u:
\|u\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 4 + 0} = \sqrt{5}.
Para v:
\|v\| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 1 + 16} = \sqrt{26}.

Passo 4

A distância em \mathbb{R}^3 é d(u,v)=\|u-v\|. Primeiro calculamos
u - v = (1-3,\;2-1,\;0-4) = (-2,\,1,\,-4).
Logo
d(u,v) = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 1 + 16} = \sqrt{21}.

Resposta

\langle u,v\rangle = 5 \|u\| = \sqrt{5} \|v\| = \sqrt{26} d(u,v) = \sqrt{21}

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