Seja F \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}^{2}\right) definida por
F(x, y, z)=(x+z, y-2 z) .
Determinar [F]_{B, C}, sendo:
B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}, \quad C=\{(1,1),(0,1)\} .

Passo 1

O enunciado dá a aplicação linear
F\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2,\quad F(x,y,z) = (x+z,\;y-2z),
e pede a matriz de F relativa à base canônica \displaystyle B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} do domínio e à base \displaystyle C=\{(1,1),(0,1)\} do contradomínio. Para isso, vamos calcular F em cada vetor de B e, em seguida, expressar o resultado nas coordenadas da base C.

Passo 2

Calcular F\bigl(1,0,0\bigr) e encontrar suas coordenadas em C.
F(1,0,0) = (1+0,\;0-0) = (1,0).
Procuramos a,b tais que
a\,(1,1) + b\,(0,1) = (1,0).
Isso dá o sistema a = 1 e a + b = 0, logo a=1, b=-1.
Assim,
[F(1,0,0)]_{C} = \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular F\bigl(0,1,0\bigr) e suas coordenadas em C.
F(0,1,0) = (0+0,\;1-0) = (0,1).
Procuramos a,b tais que
a\,(1,1) + b\,(0,1) = (0,1).
Isso dá a = 0 e 0 + b = 1, logo a=0, b=1.
Portanto,
[F(0,1,0)]_{C} = \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular F\bigl(0,0,1\bigr) e suas coordenadas em C.
F(0,0,1) = (0+1,\;0-2) = (1,-2).
Procuramos a,b tais que
a\,(1,1) + b\,(0,1) = (1,-2).
Isso dá a = 1 e 1 + b = -2, logo b=-3.
Logo,
[F(0,0,1)]_{C} = \begin{pmatrix}1\\\ -3\end{pmatrix}.

Passo 5

A matriz [F]_{B,C} tem colunas dadas pelas coordenadas de F em cada vetor de B. Assim,
[F]_{B,C} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ -1 & 1 & -3 \end{pmatrix}.

Resposta

[F]_{B,C} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ -1 & 1 & -3 \end{pmatrix}.

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