Consideremos no espaço vetorial \mathbb{R}^{2} os vetores u=(1-a, 1+a) e v=(1+a, 1-a), onde a \neq 0. Mostre que \{u, v\} é L.I.

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em \mathbb{R}^2
u = (\,1 - a,\;1 + a\,), \quad v = (\,1 + a,\;1 - a\,),
com a \neq 0, e pede para mostrar que \{u,v\} é linearmente independente. Em \mathbb{R}^2, um par de vetores é L.I. se, e somente se, o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores for não nulo.

Passo 2

Formamos a matriz M cujas colunas são u e v:
M = \begin{pmatrix} 1 - a & 1 + a\\\\ 1 + a & 1 - a \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de M:
\det(M) = (1 - a)(1 - a) \;-\;(1 + a)(1 + a) = (1 - 2a + a^2)\;-\;(1 + 2a + a^2) = -4a.
Como a \neq 0, segue que \det(M) = -4a \neq 0.

Passo 4

Determinante não nulo implica que as colunas de M, ou seja, os vetores u e v, são linearmente independentes em \mathbb{R}^2.

Resposta

O conjunto \{u,v\} é linearmente independente, pois \det(M)=-4a\neq0 quando a\neq0.

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