Dados
subespaços do espaço vetorial
determinar, nos seguintes casos:
a)
.
b)
.
c)
.
i) uma base e a dimensão de
.
ii) uma base e a dimensão de
.
iii) uma base e a dimensão de
.
iv) uma base e a dimensão de
.
a)
b)
c)
i) uma base e a dimensão de
ii) uma base e a dimensão de
iii) uma base e a dimensão de
iv) uma base e a dimensão de
Passo 1
O enunciado pede, para cada um dos casos (a), (b) e (c) em espaços
, o seguinte:
i) determinar uma base e a dimensão de , onde
é dado por equações lineares homogêneas;
ii) determinar uma base e a dimensão de , dado por parâmetros ou geradores;
iii) achar uma base e a dimensão de , usando a fórmula
i) determinar uma base e a dimensão de
ii) determinar uma base e a dimensão de
iii) achar uma base e a dimensão de
iv) achar uma base e a dimensão de
, resolvendo simultaneamente as condições de
e
.
Passo 2
Caso (a):
.
A equação homogênea tem uma restrição então
A equação homogênea tem uma restrição então
Para obter uma base, parametrize
. Logo
então uma base é
Aqui
impõe uma restrição, então
e uma base natural é
e uma base natural é
Passo 3
Ainda em (a):
Para exigimos
e
. Daí
, logo
Para
portanto
Para
, como estamos em
, e já vimos
,
,
, aplica-se
Logo
. Uma base conveniente é a base canônica
.
Passo 4
Caso (b):
.
São duas equações independentes em , então
São duas equações independentes em
Parametrizando:
. Seja
. Então
Base de
:
.
.
Duas restrições em dão
Duas restrições em
e parametrizando
obtemos
Base de
:
.
Passo 5
Ainda em (b):
satisfaz simultaneamente
e
. Com
fica
, logo
então
. Base:
.
Para
usamos
Uma base de
pode ser, por exemplo,
, que são vetores independentes vindos de
e
.
Passo 6
Caso (c):
.
Isso é um plano em , logo
Isso é um plano em
e uma base natural é
Verifica-se que
não está em
e que
. Assim três vetores independentes são
logo
Passo 7
Ainda em (c):
Como em
, tem-se
.
Então
Como
Então
com
e base canônica
.
Para
, como
, segue
logo
e base igual à de
, ou seja
.
Resposta
(a)
i) , base
.
ii) , base
.
iii) , base canônica
.
iv) , base
.
i)
ii)
iii)
iv)
(b)
i) , base
.
ii) , base
.
iii) , base
.
iv) , base
.
i)
ii)
iii)
iv)
(c)
i) , base
.
ii) , base
.
iii) , base canônica
.
iv) , base
.
i)
ii)
iii)
iv)