Dados U, W subespaços do espaço vetorial V determinar, nos seguintes casos:
a) U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / x+y+z=0\right\}, W=\{(x, y, 0) / x, y \in \mathbb{R}\}, V=\mathbb{R}^{3}.
b) U=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} / x+y=t-z=0\right\}, W=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} / z=t=0\right\}, V=\mathbb{R}^{4}.
c) U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / x=0\right\}, W=[(2,2,0),(1,2,3),(7,12,21),(-1,-2,-3)], V=\mathbb{R}^{3}.
i) uma base e a dimensão de U.
ii) uma base e a dimensão de W.
iii) uma base e a dimensão de U+W.
iv) uma base e a dimensão de U \cap W.

Passo 1

O enunciado pede, para cada um dos casos (a), (b) e (c) em espaços \mathbb R^n, o seguinte:
i) determinar uma base e a dimensão de U, onde U é dado por equações lineares homogêneas;
ii) determinar uma base e a dimensão de W, dado por parâmetros ou geradores;
iii) achar uma base e a dimensão de U+W, usando a fórmula
\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W);
iv) achar uma base e a dimensão de U\cap W, resolvendo simultaneamente as condições de U e W.

Passo 2

Caso (a): U=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+y+z=0\}.
A equação homogênea tem uma restrição então
\dim U=3-1=2.
Para obter uma base, parametrize x=s,\;y=t,\;z=-s-t. Logo
(x,y,z)=s\,(1,0,-1)+t\,(0,1,-1),
então uma base é
\{(1,0,-1),\,(0,1,-1)\}. W=\{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb R\}.
Aqui z=0 impõe uma restrição, então \dim W=2
e uma base natural é
\{(1,0,0),\,(0,1,0)\}.

Passo 3

Ainda em (a):
Para U\cap W exigimos x+y+z=0 e z=0. Daí x+y=0, logo
U\cap W=\{(x,-x,0)\}=\mathrm{span}\{(1,-1,0)\},
portanto
\dim(U\cap W)=1 \quad\text{e base }\{(1,-1,0)\}.
Para U+W, como estamos em \mathbb R^3, e já vimos \dim U=2, \dim W=2, \dim(U\cap W)=1, aplica-se
\dim(U+W)=2+2-1=3.
Logo U+W=\mathbb R^3. Uma base conveniente é a base canônica \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}.

Passo 4

Caso (b): U=\{(x,y,z,t)\mid x+y=0,\;t-z=0\}.
São duas equações independentes em \mathbb R^4, então
\dim U=4-2=2.
Parametrizando: y=-x,\;z=t. Seja x=s,\;t=u. Então
(x,y,z,t)=(s,-s,u,u) =s\,(1,-1,0,0)+u\,(0,0,1,1).
Base de U: \{(1,-1,0,0),(0,0,1,1)\}. W=\{(x,y,z,t)\mid z=0,\;t=0\}.
Duas restrições em \mathbb R^4 dão
\dim W=4-2=2,
e parametrizando x=s,\;y=t obtemos
(s,t,0,0)=s\,(1,0,0,0)+t\,(0,1,0,0).
Base de W: \{(1,0,0,0),(0,1,0,0)\}.

Passo 5

Ainda em (b): U\cap W satisfaz simultaneamente x+y=0,\;t-z=0 e z=0,\;t=0. Com z=t=0 fica x+y=0, logo
U\cap W=\{(s,-s,0,0)\}=\mathrm{span}\{(1,-1,0,0)\},
então \dim(U\cap W)=1. Base: \{(1,-1,0,0)\}.
Para U+W usamos
\dim(U+W)=2+2-1=3.
Uma base de U+W pode ser, por exemplo, \{(1,-1,0,0),\,(0,0,1,1),\,(0,1,0,0)\}, que são vetores independentes vindos de U e W.

Passo 6

Caso (c): U=\{(x,y,z)\mid x=0\}.
Isso é um plano em \mathbb R^3, logo
\dim U=2,
e uma base natural é
\{(0,1,0),\,(0,0,1)\}. W=\mathrm{span}\{(2,2,0),\,(1,2,3),\,(7,12,21),\,(-1,-2,-3)\}.
Verifica-se que (7,12,21) não está em \mathrm{span}\{(2,2,0),(1,2,3)\} e que (-1,-2,-3)=-1\,(1,2,3). Assim três vetores independentes são
\{(2,2,0),\,(1,2,3),\,(7,12,21)\},
logo
\dim W=3.

Passo 7

Ainda em (c):
Como \dim W=3 em \mathbb R^3, tem-se W=\mathbb R^3.
Então
U+W=\mathbb R^3,
com \dim(U+W)=3 e base canônica \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}.
Para U\cap W, como W=\mathbb R^3, segue
U\cap W=U,
logo \dim(U\cap W)=2 e base igual à de U, ou seja \{(0,1,0),(0,0,1)\}.

Resposta

(a)
i) \dim U=2, base \{(1,0,-1),(0,1,-1)\}.
ii) \dim W=2, base \{(1,0,0),(0,1,0)\}.
iii) \dim(U+W)=3, base canônica \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}.
iv) \dim(U\cap W)=1, base \{(1,-1,0)\}.
(b)
i) \dim U=2, base \{(1,-1,0,0),(0,0,1,1)\}.
ii) \dim W=2, base \{(1,0,0,0),(0,1,0,0)\}.
iii) \dim(U+W)=3, base \{(1,-1,0,0),(0,0,1,1),(0,1,0,0)\}.
iv) \dim(U\cap W)=1, base \{(1,-1,0,0)\}.
(c)
i) \dim U=2, base \{(0,1,0),(0,0,1)\}.
ii) \dim W=3, base \{(2,2,0),(1,2,3),(7,12,21)\}.
iii) \dim(U+W)=3, base canônica \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}.
iv) \dim(U\cap W)=2, base \{(0,1,0),(0,0,1)\}.

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