(2 pontos) Classifique cada uma das afirmaçōes abaixo como verdadeiro (V) ou falsa (F). Justificando todas as suas respostas.
(—) Se o produto escaar entre dois vetores nāo nulos \vec{l} e \vec{v} é positivo ( \vec{u} \cdot \vec{v}>0 ), entāo o ângulo entre eles é agudo ( 0^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\prime \prime} )
(-) Para quaisquer vetores \vec{u} e \vec{v} em \mathbb{R}^{3}, o produto vetorial é comutativo \vec{\imath} \mid \times \vec{v}=\vec{v} \times \vec{\imath}
(—) Três vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} em \mathbb{R}^{3} são coplanares se, o produto misto entre eles é igual a zero.
(-) O conjunto W=\left|(x, y) \in \mathbb{R}^{2}\right| x \cdot y=0 \mid é um subespaço de \mathbb{R}^{2}.
Passo 1
O enunciado pede para classificar quatro afirmações sobre vetores em \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^3 como verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando cada resposta. Os conteúdos envolvidos são
• produto escalar e sua relação com o cosseno do ângulo,
• produto vetorial e suas propriedades de anticomutatividade,
• produto misto (escala-triplo) e coplanaridade,
• condição de subespaço vetorial em \mathbb{R}^2.
Passo 2
Afirmação 1: “Se o produto escalar entre dois vetores não nulos \vec u e \vec v é positivo \vec u\cdot\vec v>0, então o ângulo entre eles é agudo 0^\circ\le\alpha\le90^\circ.”
Sabemos que
\vec u\cdot\vec v = \|\vec u\|\;\|\vec v\|\cos\alpha.
Como \|\vec u\|>0 e \|\vec v\|>0, a condição \vec u\cdot\vec v>0 implica \cos\alpha>0, ou seja \alpha\in(-90^\circ,90^\circ). No contexto de ângulos entre vetores tomamos \alpha\in[0,180^\circ], logo \alpha\in[0,90^\circ), caracterizando um ângulo agudo.
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Afirmação 2: “Para quaisquer vetores \vec u e \vec v em \mathbb{R}^3, o produto vetorial é comutativo \vec u\times\vec v=\vec v\times\vec u.”
Na verdade a propriedade do produto vetorial é
\vec u\times\vec v = -\,\bigl(\vec v\times\vec u\bigr),
ou seja, ele é anticomutativo.
Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 4
Afirmação 3: “Três vetores \vec u,\vec v,\vec w em \mathbb{R}^3 são coplanares se, e somente se, o produto misto entre eles é igual a zero.”
O produto misto (\vec u\times\vec v)\!\cdot\!\vec w dá o volume do paralelepípedo gerado pelos três vetores. Se esse volume é zero, então eles são linearmente dependentes e, em \mathbb{R}^3, isso significa coplanaridade.
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Afirmação 4: “O conjunto W = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\cdot y=0\} é um subespaço de \mathbb{R}^2.”
Verificamos a fechadura na soma:
Escolha (1,0)\in W e (0,1)\in W, pois 1\cdot0=0 e 0\cdot1=0. Mas
(1,0)+(0,1) = (1,1),
e 1\cdot1 = 1\neq0, logo (1,1)\notin W. Falta fechadura na adição, então não é subespaço.
Portanto, a afirmação é falsa.