Mostre que lang<=rang<=:, R^2 times R^2 R dado por
lang<=(x1, y1),(x2, y2)rang<==x1 x2-2 x1 y2-2 x2 y1+5 y1 y2
é um produto interno sobre R^2.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma função que recebe dois vetores no plano real R^2 e retorna um número real. Essa função é definida por:
lang<=(x1, y1),(x2, y2)rang<= = x1 x2 - 2 x1 y2 - 2 x2 y1 + 5 y1 y2
O objetivo é mostrar que essa função é um produto interno em R^2. Para isso, precisamos lembrar que um produto interno precisa satisfazer três propriedades básicas: ser simétrico, bilinear e positivo definido. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é simétrica. Isso quer dizer que a ordem dos vetores não altera o resultado do produto. Ou seja, precisamos ver se:
lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<=
Vamos calcular:
lang<=(x1, y1),(x2, y2)rang<= = x1 x2 - 2 x1 y2 - 2 x2 y1 + 5 y1 y2
E trocando u e v:
lang<=(x2, y2),(x1, y1)rang<= = x2 x1 - 2 x2 y1 - 2 x1 y2 + 5 y2 y1
Observamos que:
x1 x2 = x2 x1 y1 y2 = y2 y1
E os outros termos são iguais também:
-2 x1 y2 = -2 x2 y1 e vice-versa
Então, a função é simétrica.

Passo 3

Agora, vamos ver se a função é bilinear. Bilinearidade significa que a função é linear em cada argumento quando o outro é fixo. Basicamente, se a gente fixar u ou v, a função se comporta como uma função linear.
No caso, olhando a expressão:
x1 x2 - 2 x1 y2 - 2 x2 y1 + 5 y1 y2
Cada termo é produto de componentes lineares de u e v, então a função é bilinear.

Passo 4

Por último, precisamos checar se a função é positiva definida. Isso significa que para qualquer vetor v = (x, y) diferente de zero, temos:
lang<= v, v rang<= > 0
Vamos calcular lang<= (x, y), (x, y) rang<=:
x cdot x - 2x cdot y - 2x cdot y + 5y cdot y = x^2 - 4xy + 5y^2
Queremos que isso seja sempre maior que zero, exceto quando x = y = 0.
Para verificar, vamos completar o quadrado ou analisar o discriminante da expressão quadrática em x e y.
Considerando a expressão como uma quadrática em x:
x^2 - 4xy + 5y^2 = x^2 - 4xy + 4y^2 + y^2 = (x - 2y)^2 + y^2
Vemos que (x - 2y)^2 >= 0 e y^2 >= 0. A soma desses dois termos é sempre maior ou igual a zero. Além disso, será igual a zero apenas se x - 2y = 0 e y = 0, o que implica x = 0 e y = 0.
Portanto, a função é positiva definida.

Resposta

Assim, verificamos que a função dada é simétrica, bilinear e positiva definida. Portanto, ela é um produto interno em R^2.

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