Mostre que
dado por
é um produto interno sobre
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma função que recebe dois vetores no plano real
e retorna um número real. Essa função é definida por:
O objetivo é mostrar que essa função é um produto interno em
. Para isso, precisamos lembrar que um produto interno precisa satisfazer três propriedades básicas: ser simétrico, bilinear e positivo definido. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é simétrica. Isso quer dizer que a ordem dos vetores não altera o resultado do produto. Ou seja, precisamos ver se:
Vamos calcular:
E trocando
e
:
Observamos que:
E os outros termos são iguais também:
Então, a função é simétrica.
Passo 3
Agora, vamos ver se a função é bilinear. Bilinearidade significa que a função é linear em cada argumento quando o outro é fixo. Basicamente, se a gente fixar
ou
, a função se comporta como uma função linear.
No caso, olhando a expressão:
Cada termo é produto de componentes lineares de
e
, então a função é bilinear.
Passo 4
Por último, precisamos checar se a função é positiva definida. Isso significa que para qualquer vetor
diferente de zero, temos:
Vamos calcular
:
Queremos que isso seja sempre maior que zero, exceto quando
.
Para verificar, vamos completar o quadrado ou analisar o discriminante da expressão quadrática em
e
.
Considerando a expressão como uma quadrática em
:
Vemos que
e
. A soma desses dois termos é sempre maior ou igual a zero. Além disso, será igual a zero apenas se
e
, o que implica
e
.
Portanto, a função é positiva definida.
Resposta
Assim, verificamos que a função dada é simétrica, bilinear e positiva definida. Portanto, ela é um produto interno em
.