Consideremos um espaço vetorial
e um operador linear
, com as propriedades dadas abaixo.
e
.
Determine as possíveis formas de Jordan.
Determine as possíveis formas de Jordan.
Passo 1
Resumindo, temos o polinômio característico
o polinômio mínimo
e a multiplicidade geométrica de
é
.
Queremos achar a forma de Jordan, isto é, decidir o número e o tamanho dos blocos de Jordan para cada valor característico.
Queremos achar a forma de Jordan, isto é, decidir o número e o tamanho dos blocos de Jordan para cada valor característico.
Passo 2
Para
:
- A multiplicidade algébrica é
. - A multiplicidade geométrica é
, logo há exatamente 2 blocos de Jordan para . - Do polinômio mínimo vem que o maior bloco tem tamanho
, e nenhum bloco pode ser maior. - Sejam os tamanhos
com e . Logo
Passo 3
Para
:
- A multiplicidade algébrica é
. - Pelo mínimo, o maior bloco relativo a
tem ordem , e não pode haver bloco maior. - Para somar
em blocos inteiros com pelo menos um bloco de tamanho , só resta a partição . - Portanto há exatamente um bloco de ordem
para .
Passo 4
Concluímos que a única forma de Jordan compatível é a soma direta de dois blocos de tamanho
para o valor próprio
e um bloco de tamanho
para o valor próprio
.
Resposta
A forma de Jordan de
é
onde
denota o bloco de Jordan
com valor próprio
.