Consideremos um espaço vetorial V e um operador linear T: V V, com as propriedades dadas abaixo.
pT(x)=(x-2)^4(x+7)^2, mT(x)=(x-2)^2(x+7)^2 e mg(2)=2.
Determine as possíveis formas de Jordan.

Passo 1

Resumindo, temos o polinômio característico
pT(x)=(x-2)^4(x+7)^2,
o polinômio mínimo
mT(x)=(x-2)^2(x+7)^2,
e a multiplicidade geométrica de lambda=2 é mg(2)=2.
Queremos achar a forma de Jordan, isto é, decidir o número e o tamanho dos blocos de Jordan para cada valor característico.

Passo 2

Para lambda=2:
  • A multiplicidade algébrica é 4.
  • A multiplicidade geométrica é 2, logo há exatamente 2 blocos de Jordan para lambda=2.
  • Do polinômio mínimo vem que o maior bloco tem tamanho 2, e nenhum bloco pode ser maior.
  • Sejam os tamanhos n1>= n2 com n1+n2=4 e n1=2. Logo
(n1,n2)=(2,2)

Passo 3

Para lambda=-7:
  • A multiplicidade algébrica é 2.
  • Pelo mínimo, o maior bloco relativo a -7 tem ordem 2, e não pode haver bloco maior.
  • Para somar 2 em blocos inteiros com pelo menos um bloco de tamanho 2, só resta a partição (2).
  • Portanto há exatamente um bloco de ordem 2 para lambda=-7.

Passo 4

Concluímos que a única forma de Jordan compatível é a soma direta de dois blocos de tamanho 2 para o valor próprio 2 e um bloco de tamanho 2 para o valor próprio -7.

Resposta

A forma de Jordan de T é
J=diagl(J2(2),,J2(2),,J2(-7)r),
onde J2(alpha) denota o bloco de Jordan 2times2 com valor próprio alpha.

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