Consideremos um espaço vetorial V e um operador linear T: V V, com as propriedades dadas abaixo.
pT(x)=(x-3)^2(x-2)^2(x+2)^3 e mT(x)=(x-3)^2(x-2)(x+2)^2.
Determine a dimensão de cada autoespaço generalizado.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:Vto V com
pT(x)=(x-3)^2(x-2)^2(x+2)^3,
mT(x)=(x-3)^2(x-2)(x+2)^2,
e pede a dimensão de cada autoespaço generalizado. Por definição, para cada valor próprio lambda o autoespaço generalizado é
Klambda ;=;kerl(T-lambda Ir)^slambda,
onde slambda é o expoente de (x-lambda) em mT(x).

Passo 2

Identificamos para cada lambda:
  • lambda=3: na característica vem multiplicidade algébrica 2, e em mT o expoente é s3=2. Então K3 = kerl(T-3Ir)^2
  • lambda=2: multiplicidade algébrica 2, expoente em mT é s2=1. Logo K2 = kerl(T-2Ir)
  • lambda=-2: multiplicidade algébrica 3, expoente em mT é s-2=2. Então K-2 = kerl(T+2Ir)^2

Passo 3

Usamos o resultado de teoria de Jordan: a dimensão de cada autoespaço generalizado Klambda é igual à soma dos tamanhos dos blocos de Jordan de lambda, ou seja, coincide com a multiplicidade algébrica de lambda em pT(x). Portanto:
dim K3=2, dim K2=2, dim K-2=3

Resposta

dimkerl(T-3Ir)^2=2
dimkerl(T-2Ir)=2
dimkerl(T+2Ir)^2=3

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