Consideremos um espaço vetorial
e um operador linear
, com as propriedades dadas abaixo.
e
.
Determine a dimensão de cada autoespaço generalizado.
Determine a dimensão de cada autoespaço generalizado.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
com
e pede a dimensão de cada autoespaço generalizado. Por definição, para cada valor próprio
o autoespaço generalizado é
onde
é o expoente de
em
.
Passo 2
Identificamos para cada
:
-
: na característica vem multiplicidade algébrica , e em o expoente é . Então -
: multiplicidade algébrica , expoente em é . Logo -
: multiplicidade algébrica , expoente em é . Então
Passo 3
Usamos o resultado de teoria de Jordan: a dimensão de cada autoespaço generalizado
é igual à soma dos tamanhos dos blocos de Jordan de
, ou seja, coincide com a multiplicidade algébrica de
em
. Portanto: