Consideremos um espaço vetorial
e um operador linear
, com as propriedades dadas abaixo.
.
Determine a dimensão de cada autoespaço generalizado.
Determine a dimensão de cada autoespaço generalizado.
Passo 1
O enunciado diz que o operador linear
tem
que aqui vamos interpretar como o polinômio característico de
. Os autovalores são
com multiplicidade algébrica
e
com multiplicidade algébrica
. A tarefa é achar a dimensão de cada autoespaço generalizado, isto é
e
.
Passo 2
Lembre que o autoespaço generalizado de um autovalor
,
onde
é a multiplicidade algébrica de
, é exatamente a soma direta de todos os blocos de Jordan associados a
. Logo a sua dimensão é a soma dos tamanhos desses blocos, o que coincide com a própria multiplicidade algébrica de
.
Passo 3
Aplicando esse fato aos nossos autovalores:
- Para
a multiplicidade algébrica é . Logo - Para
a multiplicidade algébrica é . Logo