Consideremos um espaço vetorial V e um operador linear T: V V, com as propriedades dadas abaixo.
pT(x)=(x+2)^4(x-1)^2.
Determine a dimensão de cada autoespaço generalizado.

Passo 1

O enunciado diz que o operador linear T:Vto V tem
pT(x)=(x+2)^4(x-1)^2,
que aqui vamos interpretar como o polinômio característico de T. Os autovalores são lambda=-2 com multiplicidade algébrica 4 e lambda=1 com multiplicidade algébrica 2. A tarefa é achar a dimensão de cada autoespaço generalizado, isto é
E-2=kerl((T+2I)^4r) e
E1=kerl((T-I)^2r).

Passo 2

Lembre que o autoespaço generalizado de um autovalor lambda,
Elambda=kerl((T-lambda I)^mr),
onde m é a multiplicidade algébrica de lambda, é exatamente a soma direta de todos os blocos de Jordan associados a lambda. Logo a sua dimensão é a soma dos tamanhos desses blocos, o que coincide com a própria multiplicidade algébrica de lambda.

Passo 3

Aplicando esse fato aos nossos autovalores:
  • Para lambda=-2 a multiplicidade algébrica é 4. Logo dim E-2=4
  • Para lambda=1 a multiplicidade algébrica é 2. Logo dim E1=2

Resposta

dim E-2=4, dim E1=2

Exercícios relacionados