Consideremos um espaço vetorial V e um operador linear T: V V, com as propriedades dadas abaixo.
pT(x)=(x+3)^5(x-1)^2 e mT(x)=(x+3)^3(x-1).
Determine a dimensão de cada autoespaço generalizado.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear Tcolon Vto V com polinômio característico
pT(x)=(x+3)^5(x-1)^2
e polinômio minimal
mT(x)=(x+3)^3(x-1)
Queremos a dimensão de cada autoespaço generalizado, ou seja, de
kerl((T-lambda I)^mlambdar) para lambda=-3 e lambda=1.

Passo 2

Do polinômio característico, a multiplicidade algébrica de lambda=-3 vale 5 e de lambda=1 vale 2.

Passo 3

Em geral, o autoespaço generalizado relativo a lambda é
kerl((T-lambda I)^mlambdar),
onde mlambda é o expoente de (x-lambda) em mT(x). A teoria de Jordan diz que
dim kerl((T-lambda I)^mlambdar)
é justamente a soma das ordens dos blocos de Jordan para lambda, isto é, a multiplicidade algébrica de lambda.

Passo 4

Para lambda=-3 temos m-3=3 e multiplicidade algébrica 5, logo
dim kerl((T+3I)^3r)=5
Para lambda=1 temos m1=1 e multiplicidade algébrica 2, logo
dim kerl(T-Ir)=2

Resposta

dim do autoespaço generalizado em lambda=-3 é 5.
dim do autoespaço generalizado em lambda=1 é 2.

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