Consideremos um espaço vetorial
e um operador linear
, com as propriedades dadas abaixo.
e
.
Determine a dimensão de cada autoespaço generalizado.
Determine a dimensão de cada autoespaço generalizado.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
com polinômio característico
e polinômio minimal
Queremos a dimensão de cada autoespaço generalizado, ou seja, de
para
e
.
Passo 2
Do polinômio característico, a multiplicidade algébrica de
vale
e de
vale
.
Passo 3
Em geral, o autoespaço generalizado relativo a
é
onde
é o expoente de
em
. A teoria de Jordan diz que
é justamente a soma das ordens dos blocos de Jordan para
, isto é, a multiplicidade algébrica de
.
Passo 4
Para
temos
e multiplicidade algébrica
, logo
Para
temos
e multiplicidade algébrica
, logo