Consideremos um espaço vetorial V e um operador linear T: V V, com as propriedades dadas abaixo.
pT(x)=(x-3)^2(x-2)^2(x+2)^3 e mT(x)=(x-3)^2(x-2)(x+2)^2.
Determine as possíveis formas de Jordan.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear Tcolon Vto V com
pT(x)=(x-3)^2(x-2)^2(x+2)^3, mT(x)=(x-3)^2(x-2)(x+2)^2
e pede as possíveis formas de Jordan. Vamos usar a relação entre polinômio característico (que determina as multiplicidades algébricas) e polinômio mínimo (que dá o tamanho do maior bloco de cada autovalor).

Passo 2

Extraímos dos fatores de pT os autovalores e suas multiplicidades algébricas:
lambda=3 com multiplicidade algébrica a3=2.
lambda=2 com multiplicidade algébrica a2=2.
lambda=-2 com multiplicidade algébrica a-2=3.

Passo 3

Do polinômio mínimo tiramos o expoente de cada fator, que é o tamanho do maior bloco de Jordan correspondente:
– Para lambda=3, expoente em mT é 2, logo o maior bloco Jk(3) tem k=2.
– Para lambda=2, expoente é 1, logo todos os blocos para lambda=2 têm tamanho 1.
– Para lambda=-2, expoente é 2, então o maior bloco para lambda=-2 tem tamanho 2.

Passo 4

Agora construímos as partições (somas de tamanhos de blocos) que somem à multiplicidade algébrica, respeitando o tamanho máximo:
lambda=3: a3=2 e maior bloco de tamanho 2. A única partição é
2,,
ou seja, um bloco J2(3).
lambda=2: a2=2 e todos blocos têm tamanho 1. Só cabe
1+1,,
ou seja, dois blocos J1(2).
lambda=-2: a-2=3 e maior bloco de tamanho 2. A única partição válida é
2+1,,
ou seja, um bloco J2(-2) e um bloco J1(-2).

Resposta

A forma de Jordan é única e dada pelo somatório direto dos blocos:
J = J2(3)oplus J1(2)oplus J1(2)oplus J2(-2)oplus J1(-2)

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