Consideremos um espaço vetorial
e um operador linear
, com as propriedades dadas abaixo.
e
.
Determine as possíveis formas de Jordan.
Determine as possíveis formas de Jordan.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
com
e pede as possíveis formas de Jordan. Vamos usar a relação entre polinômio característico (que determina as multiplicidades algébricas) e polinômio mínimo (que dá o tamanho do maior bloco de cada autovalor).
Passo 2
Extraímos dos fatores de
os autovalores e suas multiplicidades algébricas:
– com multiplicidade algébrica
.
– com multiplicidade algébrica
.
– com multiplicidade algébrica
.
–
–
–
Passo 3
Do polinômio mínimo tiramos o expoente de cada fator, que é o tamanho do maior bloco de Jordan correspondente:
– Para , expoente em
é
, logo o maior bloco
tem
.
– Para , expoente é
, logo todos os blocos para
têm tamanho
.
– Para , expoente é
, então o maior bloco para
tem tamanho
.
– Para
– Para
– Para
Passo 4
Agora construímos as partições (somas de tamanhos de blocos) que somem à multiplicidade algébrica, respeitando o tamanho máximo:
– :
e maior bloco de tamanho
. A única partição é
–
ou seja, um bloco
.
– :
e todos blocos têm tamanho
. Só cabe
–
ou seja, dois blocos
.
– :
e maior bloco de tamanho
. A única partição válida é
–
ou seja, um bloco
e um bloco
.
Resposta
A forma de Jordan é única e dada pelo somatório direto dos blocos: