Consideremos o espaço vetorial com o produto interno canônico. Verifique quais operadores são autoadjuntos. Determine uma base ortonormal que diagonaliza cada operador autoadjunto. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um espaço vetorial com um produto interno padrão. A missão é verificar quais operadores são autoadjuntos (ou seja, equivalentes a operadores simétricos nesse contexto). Além disso, precisamos encontrar uma base ortonormal que diagonaliza cada operador autoadjunto. Vamos precisar mexer com matrizes, verificar simetria e calcular autovalores e autovetores. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o operador que nos foi dado: . Para trabalhar melhor, vamos representar esse operador como uma matriz. Se considerarmos agindo sobre um vetor , temos:
Essa é a representação matricial de T em relação à base padrão de R^2 .
Passo 3
Agora, para verificar se T é autoadjunto, precisamos ver se a matriz de T é igual à sua transposta. Em termos de matriz, um operador é autoadjunto se T = T^T . Vamos conferir:
T^T = 0 & 1 1 & 0
Vemos que T = T^T , pois a matriz é simétrica. Portanto, T é um operador autoadjunto.
Passo 4
Com T sendo autoadjunto, podemos passar para a próxima etapa: encontrar os autovalores de T . Para isso, resolvemos a equação característica:
det(T - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda são os autovalores. Calculando: