Consideremos o espaço vetorial V com o produto interno canônico. Verifique quais operadores T: V V são autoadjuntos. Determine uma base ortonormal que diagonaliza cada operador autoadjunto.
V=R^2, T(x, y)=(y, x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um espaço vetorial V = R^2 com um produto interno padrão. A missão é verificar quais operadores T: V V são autoadjuntos (ou seja, equivalentes a operadores simétricos nesse contexto). Além disso, precisamos encontrar uma base ortonormal que diagonaliza cada operador autoadjunto. Vamos precisar mexer com matrizes, verificar simetria e calcular autovalores e autovetores. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o operador T que nos foi dado: T(x, y) = (y, x) . Para trabalhar melhor, vamos representar esse operador como uma matriz. Se considerarmos T agindo sobre um vetor x y , temos:
T = 0 & 1 1 & 0
Essa é a representação matricial de T em relação à base padrão de R^2 .

Passo 3

Agora, para verificar se T é autoadjunto, precisamos ver se a matriz de T é igual à sua transposta. Em termos de matriz, um operador é autoadjunto se T = T^T . Vamos conferir:
T^T = 0 & 1 1 & 0
Vemos que T = T^T , pois a matriz é simétrica. Portanto, T é um operador autoadjunto.

Passo 4

Com T sendo autoadjunto, podemos passar para a próxima etapa: encontrar os autovalores de T . Para isso, resolvemos a equação característica:
det(T - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda são os autovalores. Calculando:
det( 0 - lambda & 1 1 & 0 - lambda ) = ( -lambda)( -lambda) - (1)(1) = lambda^2 - 1 = 0
Resolvendo lambda^2 - 1 = 0 :
lambda = pm 1
Então, os autovalores são lambda1 = 1 e lambda2 = -1 .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para lambda = 1 :
(T - I)v = 0 Rightarrow -1 & 1 1 & -1 v1 v2 = 0 0
Resolvendо isso, temos v1 = v2 . Um autovetor associado é v1 = 1 1 .
Para lambda = -1 :
(T + I)v = 0 Rightarrow 1 & 1 1 & 1 v1 v2 = 0 0
Aqui, temos v1 = -v2 . Um autovetor correspondente é v2 = 1 -1 .

Passo 6

Para finalizar, precisamos ter uma base ortonormal que diagonaliza T . Isso significa que os autovetores devem ser ortogonais e ter norma 1.
Primeiro, normalizamos v1 e v2 :
|v1| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2, |v2| = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz2
Então, os vetores normalizados são:
u1 = 1raiz2 1 1 , u2 = 1raiz2 1 -1
Esses vetores formam uma base ortonormal que diagonaliza T .

Resposta

O operador T é autoadjunto, e uma base ortonormal que o diagonaliza é:
1raiz2 1 1 , 1raiz2 1 -1

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