Consideremos o espaço vetorial V com o produto interno canônico. Verifique quais operadores T: V V são autoadjuntos. Determine uma base ortonormal que diagonaliza cada operador autoadjunto.
V=R[x]2, T(a+b x+c x^2)=b-a+(a+2 b) x+3 c x^2.

Passo 1

O espaço vetorial é V=R[x]2 com o produto interno canônico que torna a base 1,x,x^2 ortonormal. O operador Tcolon Vto V é dado por
T(a+b x+c x^2) = (b - a) + (a + 2b)x + 3c,x^2
Precisamos (i) verificar se T é autoadjunto e (ii) encontrar uma base ortonormal que diagonalize T.

Passo 2

Vamos escrever a matriz de T na base canônica 1,x,x^2. Se (a,b,c) são as coordenadas de um vetor, então
T(a,b,c) = l(-a + b,;a + 2b,;3cr)
Logo a matriz de T é
M = -1 & 1 & 0 1 & 2 & 0 0 & 0 & 3
Como M é simétrica ( M^T=M), concluímos que T é autoadjunto.

Passo 3

Para diagonalizar, achamos os autovalores de M. O bloco 2times2 superior tem polinômio característico
det-1-lambda & 11 & 2-lambda = (!-1-lambda)(2-lambda)-1 =lambda^2-lambda-3,
cujas raízes são
lambda1,2 = 1pmraiz1+122 = 1pmraiz132
Além disso, o valor 3 aparece isolado na última linha, logo é autovalor com vetor próprio em spanx^2.

Passo 4

No subespaço gerado por
dá a relação
Portanto vetores próprios são, up to escalares,
e para é um conjunto ortogonal.

Passo 5

Basta normalizar cada vi. Note que |x^2|=1. Para v1 temos
|v1|^2 =1+l(tfrac3+raiz132r)^2 =13+3raiz132,
logo
u1 = raiz213+3raiz13,l(1 + tfrac3+raiz132,xr)
Analogamente,
u2 = raiz213-3raiz13,l(1 + tfrac3-raiz132,xr), u3 = x^2
Então u1,u2,u3 é base ortonormal de autovetores.

Resposta

T é autoadjunto e uma base ortonormal que o diagonaliza é
u1 = raiz213+3raiz13,l(1 + tfrac3+raiz132,xr), u2 = raiz213-3raiz13,l(1 + tfrac3-raiz132,xr), u3 = x^2,
com autovalores tfrac1+raiz132,;tfrac1-raiz132 e 3, respectivamente.

Exercícios relacionados