Consideremos o espaço vetorial com o produto interno canônico. Verifique quais operadores são autoadjuntos. Determine uma base ortonormal que diagonaliza cada operador autoadjunto. .
Passo 1
O espaço vetorial é com o produto interno canônico que torna a base ortonormal. O operador é dado por
Precisamos (i) verificar se é autoadjunto e (ii) encontrar uma base ortonormal que diagonalize .
Passo 2
Vamos escrever a matriz de na base canônica . Se são as coordenadas de um vetor, então
Logo a matriz de é
Como M é simétrica (M^T=M), concluímos que T é autoadjunto.
Passo 3
Para diagonalizar, achamos os autovalores de M. O bloco 2times2 superior tem polinômio característico