Consideremos o espaço vetorial com o produto interno canônico. Verifique quais operadores são autoadjuntos. Determine uma base ortonormal que diagonaliza cada operador autoadjunto. .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial com o produto interno padrão. O exercício quer que verifiquemos quais operadores são autoadjuntos, ou seja, que satisfazem , onde é o adjunto de . Além disso, precisamos encontrar uma base ortonormal que diagonaliza cada operador autoadjunto. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com matrizes, calcular adjuntos e autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz em relação à base padrão de . O operador é definido por:
Podemos escrever a matriz de assim:
Passo 3
Agora, vamos calcular o adjunto de T , que é a conjugada transposta da matriz A . Isso significa que precisamos transpor a matriz e, em seguida, tomar a conjugada de cada elemento:
Note que para os elementos fora da diagonal, a conjugada de -i é i .
Passo 4
Vamos verificar se T é autoadjunto, ou seja, se A = A^dag>=r :
A = 2 & i & 1 -i & 3 & 0 1 & 0 & -1 , A^dag>=r = 2 & i & 1 i & 3 & 0 1 & 0 & -1
Observamos que A neq A^dag>=r porque, por exemplo, o elemento a21 = -i é diferente de a12 = i . Portanto, T não é um operador autoadjunto.
Resposta
O operador T não é autoadjunto no espaço V = C^3 , pois a matriz de T não é igual à sua adjunta. Portanto, não existe uma base ortonormal que diagonaliza T como operador autoadjunto.