Consideremos o espaço vetorial V com o produto interno canônico. Verifique quais operadores T: V V são autoadjuntos. Determine uma base ortonormal que diagonaliza cada operador autoadjunto.
V=C^3, T(x, y, z)=(2 x+i y+z,-i x+3 y, x-z).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial V = C^3 com o produto interno padrão. O exercício quer que verifiquemos quais operadores T: V V são autoadjuntos, ou seja, que satisfazem T = T^dag>=r , onde T^dag>=r é o adjunto de T . Além disso, precisamos encontrar uma base ortonormal que diagonaliza cada operador autoadjunto. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com matrizes, calcular adjuntos e autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador T como uma matriz em relação à base padrão de C^3 . O operador é definido por:
T(x, y, z) = (2x + i y + z, -i x + 3y, x - z)
Podemos escrever a matriz de T assim:
A = 2 & i & 1 -i & 3 & 0 1 & 0 & -1

Passo 3

Agora, vamos calcular o adjunto de T , que é a conjugada transposta da matriz A . Isso significa que precisamos transpor a matriz e, em seguida, tomar a conjugada de cada elemento:
A^dag>=r = 2 & i & 1 -i & 3 & 0 1 & 0 & -1 ^dag>=r = 2 & i & 1 i & 3 & 0 1 & 0 & -1
Note que para os elementos fora da diagonal, a conjugada de -i é i .

Passo 4

Vamos verificar se T é autoadjunto, ou seja, se A = A^dag>=r :
A = 2 & i & 1 -i & 3 & 0 1 & 0 & -1 , A^dag>=r = 2 & i & 1 i & 3 & 0 1 & 0 & -1
Observamos que A neq A^dag>=r porque, por exemplo, o elemento a21 = -i é diferente de a12 = i . Portanto, T não é um operador autoadjunto.

Resposta

O operador T não é autoadjunto no espaço V = C^3 , pois a matriz de T não é igual à sua adjunta. Portanto, não existe uma base ortonormal que diagonaliza T como operador autoadjunto.

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