Consideremos o espaço vetorial V com o produto interno canônico. Verifique quais operadores T: V V são autoadjuntos. Determine uma base ortonormal que diagonaliza cada operador autoadjunto.
V=M(2, R), T(lla & b c & d)=(cca-b & a b+2 c+d & c-d).

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V = M(2,R) equipado com o produto interno canônico
lang<= A, Brang<= = tr(A^T B),
e define o operador linear Tcolon Vto V por
Tl(a & b c & dr) = a - b & a b + 2c + d & c - d
Queremos verificar se T é autoadjunto, ou seja, se lang<= T(X),Yrang<= = lang<= X,T(Y)rang<= para todo X,Yin V. Para isso, vamos passar T para sua matriz em uma base ortonormal e comparar com sua transposta.

Passo 2

Escolhemos como base ortonormal a base canônica
E11=1&00&0, E12=0&10&0, E21=0&01&0, E22=0&00&1
Vamos calcular T sobre cada vetor dessa base:
Para E11 (onde a=1,b=c=d=0):
T(E11)=1-0&10+0+0&0-0 =1&10&0 =1cdot E11+1cdot E12
Para E12 (onde b=1,a=c=d=0):
T(E12)=0-1&01+0+0&0-0 =-1&01&0 =-1cdot E11+1cdot E21
Para E21 (onde c=1,a=b=d=0):
T(E21)=0-0&00+2cdot1+0&1-0 =0&02&1 =2cdot E21+1cdot E22
Para E22 (onde d=1,a=b=c=0):
T(E22)=0-0&00+0+1&0-1 =0&01&-1 =1cdot E21-1cdot E22

Passo 3

Da ação acima, a matriz de T na base E11,E12,E21,E22 tem colunas
1100, -1010, 0021, 001-1,
isto é,
M(T)= 1 & -1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 1 0 & 0 & 1 & -1

Passo 4

Para T ser autoadjunto precisamos ter M(T)=M(T)^T. Mas
M(T)^T = 1 & 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & 1 & -1 ,
e claramente M(T)neq M(T)^T (por exemplo, o elemento (1,2) em M(T) é -1 enquanto em M(T)^T é 1). Logo T não é autoadjunto.

Passo 5

Como T não é autoadjunto, não existe base ortonormal de V que o diagonalize.

Resposta

T não é autoadjunto, portanto não há base ortonormal que o diagonalize.

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