Consideremos o espaço vetorial com o produto interno canônico. Verifique quais operadores são autoadjuntos. Determine uma base ortonormal que diagonaliza cada operador autoadjunto. .
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial V = M(2,R) equipado com o produto interno canônico
lang<= A, Brang<= = tr(A^T B),
e define o operador linear Tcolon Vto V por
Tl(a & b c & dr) = a - b & a b + 2c + d & c - d
Queremos verificar se T é autoadjunto, ou seja, se lang<= T(X),Yrang<= = lang<= X,T(Y)rang<= para todo X,Yin V. Para isso, vamos passar T para sua matriz em uma base ortonormal e comparar com sua transposta.