Mostre que as matrizes A e B são simétricas e determine P e Q ortogonais e D1 e D2 diagonais tais que P^t A P=D1 e Q^t B Q=D2, sendo
A=(ll 0 & 1 1 & 0 ) e B=(lll 0 & 1 & 0 1 & 0 & 2 0 & 2 & 0 )

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
;A=0&11&0; e
;B=0&1&01&0&20&2&0;
são simétricas e, em seguida, aplicar o Teorema Espectral (autovalores reais e autovetores ortonormais) para encontrar matrizes ortogonais P e Q e diagonais D1 e D2 tais que
P^tAP=D1, Q^tBQ=D2
Vamos usar definição de simetria ( M^t=M) e resolver os polinômios característicos, normalizar autovetores e montar as matrizes de mudança de base ortonormais.

Passo 2

Mostramos que A é simétrica e o diagonalizamos.
  1. Verificamos
    ;A^t=0&11&0=A, logo A é simétrica.
  2. O polinômio característico é
det(A-lambda I) =det-lambda&11&-lambda =lambda^2-1=0,
de onde lambda1=1 e lambda2=-1.
3. Para lambda1=1:
(A-I)x=0 leva a y=x, escolhemos v1=(1,1).
Para lambda2=-1:
(A+I)x=0 leva a y=-x, escolhemos v2=(1,-1).
4. Normalizamos v1 e v2:
|v1|=raiz2, |v2|=raiz2, então
u1=1raiz211, u2=1raiz21-1
  1. Definimos
P=l(u1;u2r) = 1raiz2 & 1raiz2 1raiz2 & -1raiz2 , D1=1&00&-1,
e verifica-se que P^tAP=D1.

Passo 3

Mostramos que B é simétrica e o diagonalizamos.
  1. Verificamos
    ;B^t=0&1&01&0&20&2&0=B.
  2. O polinômio característico é
det(B-lambda I) =-lambda(lambda^2-5)=0,
de onde os autovalores são lambda=raiz5,,0,,-raiz5.
3. Autovetor para lambda=raiz5:
(B-raiz5I)x=0 dá a y=raiz5x,;z=2x. Tomamos v1=(1,raiz5,2).
Para lambda=0:
Bx=0 y=0,;x=-2z. Tomamos v2=(-2,0,1).
Para lambda=-raiz5:
(B+raiz5I)x=0 y=-raiz5x,;z=2x. Tomamos v3=(1,-raiz5,2).
4. Normalizamos:
|v1|=raiz10,;|v2|=raiz5,;|v3|=raiz10, então
u1=1raiz101raiz52, u2=1raiz5-201, u3=1raiz101-raiz52
  1. Definimos
Q=l(u1;u2;u3r), D2=raiz5&0&00&0&00&0&-raiz5,
e verifica-se que Q^tBQ=D2.

Resposta

P= 1raiz2 & 1raiz2 1raiz2 & -1raiz2 , D1=1&00&-1,
Q= 1raiz10 & -2raiz5 & 1raiz10 raiz5raiz10 & 0 & -raiz5raiz10 2raiz10 & 1raiz5 & 2raiz10 , D2=raiz5&0&00&0&00&0&-raiz5

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