Mostre que as matrizes e são simétricas e determine e ortogonais e e diagonais tais que e , sendo
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que ;A=0&11&0; e ;B=0&1&01&0&20&2&0;
são simétricas e, em seguida, aplicar o Teorema Espectral (autovalores reais e autovetores ortonormais) para encontrar matrizes ortogonais P e Q e diagonais D1 e D2 tais que
P^tAP=D1, Q^tBQ=D2
Vamos usar definição de simetria (M^t=M) e resolver os polinômios característicos, normalizar autovetores e montar as matrizes de mudança de base ortonormais.
de onde lambda1=1 e lambda2=-1.
3. Para lambda1=1: (A-I)x=0 leva a y=x, escolhemos v1=(1,1).
Para lambda2=-1: (A+I)x=0 leva a y=-x, escolhemos v2=(1,-1).
4. Normalizamos v1 e v2: |v1|=raiz2, |v2|=raiz2, então
de onde os autovalores são lambda=raiz5,,0,,-raiz5.
3. Autovetor para lambda=raiz5: (B-raiz5I)x=0 dá a y=raiz5x,;z=2x. Tomamos v1=(1,raiz5,2).
Para lambda=0: Bx=0 dá y=0,;x=-2z. Tomamos v2=(-2,0,1).
Para lambda=-raiz5: (B+raiz5I)x=0 dá y=-raiz5x,;z=2x. Tomamos v3=(1,-raiz5,2).
4. Normalizamos: |v1|=raiz10,;|v2|=raiz5,;|v3|=raiz10, então