Consideremos R^3 com o produto interno canônico. Das aplicações dadas abaixo, quais são ortogonais? Quais são rotações?
T(x, y, z)=(x,-y, z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a aplicação linear T(x, y, z) = (x, -y, z) é ortogonal e se é uma rotação no espaço R^3. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que são aplicações ortogonais e rotações, além de como verificar essas propriedades usando matrizes e produtos internos. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma aplicação ortogonal. Uma transformação linear T é ortogonal se ela preserva o produto interno, ou seja, para quaisquer vetores u e v em R^3, temos:
lang<= T(u), T(v) rang<= = lang<= u, v rang<=
Isso também implica que a matriz associada a T é uma matriz ortogonal, o que significa que A^T A = I , onde A^T é a transposta de A e I é a matriz identidade.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a matriz A que representa a transformação T . A aplicação T(x, y, z) = (x, -y, z) pode ser representada pela matriz:
A = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1
Essa matriz reflete o vetor em relação ao eixo x e ao eixo z , já que o componente y é invertido.

Passo 4

Vamos verificar se A é uma matriz ortogonal. Para isso, calculamos A^T A :
A^T = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1
Multiplicando A^T por A :
A^T A = 1 & 0 & 0 0 & (-1)^2 & 0 0 & 0 & 1^2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = I
Como A^T A = I , a matriz A é de fato uma matriz ortogonal.

Passo 5

Agora, vamos determinar se essa transformação é uma rotação. No R^3, rotações são transformações ortogonais com determinante igual a 1. Vamos calcular o determinante de A :
det(A) = 1 times (-1) times 1 = -1
Como o determinante é -1, que não é igual a 1, A não representa uma rotação, mas sim uma reflexão.

Resposta

A aplicação T(x, y, z) = (x, -y, z) é uma transformação ortogonal, mas não é uma rotação no espaço R^3.

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