Consideremos com o produto interno canônico. Das aplicações dadas abaixo, quais são ortogonais? Quais são rotações? .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a aplicação linear é ortogonal e se é uma rotação no espaço . Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que são aplicações ortogonais e rotações, além de como verificar essas propriedades usando matrizes e produtos internos. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma aplicação ortogonal. Uma transformação linear é ortogonal se ela preserva o produto interno, ou seja, para quaisquer vetores e em , temos:
Isso também implica que a matriz associada a é uma matriz ortogonal, o que significa que , onde é a transposta de e é a matriz identidade.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a matriz que representa a transformação . A aplicação pode ser representada pela matriz:
Essa matriz reflete o vetor em relação ao eixo x e ao eixo z , já que o componente y é invertido.
Passo 4
Vamos verificar se A é uma matriz ortogonal. Para isso, calculamos A^T A :
Como A^T A = I , a matriz A é de fato uma matriz ortogonal.
Passo 5
Agora, vamos determinar se essa transformação é uma rotação. No R^3, rotações são transformações ortogonais com determinante igual a 1. Vamos calcular o determinante de A :
det(A) = 1 times (-1) times 1 = -1
Como o determinante é -1, que não é igual a 1, A não representa uma rotação, mas sim uma reflexão.
Resposta
A aplicação T(x, y, z) = (x, -y, z) é uma transformação ortogonal, mas não é uma rotação no espaço R^3.