Determine o subespaço vetorial de mathbb{R}^{3} gerado pelos seguintes vetores:
v_{1}=(1,2,0), v_{2}=(1,1,1)

Passo 1

O enunciado pede o subespaço de \mathbb{R}^3 gerado pelos vetores \,v_{1}=(1,2,0) e v_{2}=(1,1,1). Isto é, precisamos encontrar
\mathrm{Span}\{v_{1},v_{2}\}
e descrevê-lo de forma paramétrica ou por equação cartesiana.

Passo 2

Qualquer vetor em \mathrm{Span}\{v_{1},v_{2}\} é combinação linear
a\,v_{1}+b\,v_{2} =a\,(1,2,0)+b\,(1,1,1) =(a+b,\;2a+b,\;b),
com a,b\in\mathbb{R}.

Passo 3

Chamando
x=a+b,\quad y=2a+b,\quad z=b,
temos dois parâmetros a e b, mas podemos usar apenas x e z, por exemplo. Note que b=z e
a=x-b=x-z.

Passo 4

Substituindo a e b em y=2a+b vem
y=2(x-z)+z =2x-2z+z =2x-z.
Logo todos os vetores (x,y,z) do subespaço satisfazem
y=2x-z.

Passo 5

Concluímos que o subespaço gerado é um plano em \mathbb{R}^3 de equação y=2x-z e dimensão 2.

Resposta

\mathrm{Span}\{(1,2,0),(1,1,1)\} =\bigl\{(a+b,\,2a+b,\,b)\mid a,b\in\mathbb{R}\bigr\} =\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid y=2x-z\bigr\}.

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