Consideremos um espaço vetorial V e um operador linear T: V V, com as propriedades dadas abaixo.
pT(x)=(x+2)^4(x-1)^2.
Determine as possíveis formas de Jordan.

Passo 1

O enunciado nos dá que o polinômio característico de T é
pT(x)=(x+2)^4(x-1)^2
Isso significa que os autovalores são -2 com multiplicidade algébrica 4 e 1 com multiplicidade algébrica 2. Para construir as formas de Jordan precisamos apenas conhecer as partições de 4 (blocos de Jordan para -2) e as partições de 2 (blocos de Jordan para 1).

Passo 2

As partições de 4 (tamanhos dos blocos de Jordan para lambda=-2) são
4,;3,1,;2,2,;2,1,1,;1,1,1,1
Portanto, as possíveis somas diretas de blocos de Jordan para -2 são
J4(-2), J3(-2)oplus J1(-2), J2(-2)oplus J2(-2), J2(-2)oplus J1(-2)oplus J1(-2), J1(-2)oplus J1(-2)oplus J1(-2)oplus J1(-2)

Passo 3

As partições de 2 (tamanhos dos blocos de Jordan para lambda=1) são
2,;1,1
Logo, as possíveis somas diretas de blocos de Jordan para 1 são
J2(1), J1(1)oplus J1(1)

Passo 4

Cada forma de Jordan de T é dada pela combinação de uma escolha de bloco(s) para -2 com uma escolha de bloco(s) para 1. Como há 5 opções para -2 e 2 opções para 1, existem 5times 2=10 formas possíveis.

Resposta

1. J4(-2)oplus J2(1) 2. J4(-2)oplus J1(1)oplus J1(1) 3. J3(-2)oplus J1(-2)oplus J2(1) 4. J3(-2)oplus J1(-2)oplus J1(1)oplus J1(1) 5. J2(-2)oplus J2(-2)oplus J2(1) 6. J2(-2)oplus J2(-2)oplus J1(1)oplus J1(1) 7. J2(-2)oplus J1(-2)oplus J1(-2)oplus J2(1) 8. J2(-2)oplus J1(-2)oplus J1(-2)oplus J1(1)oplus J1(1) 9. J1(-2)oplus J1(-2)oplus J1(-2)oplus J1(-2)oplus J2(1) 10. J1(-2)oplus J1(-2)oplus J1(-2)oplus J1(-2)oplus J1(1)oplus J1(1)

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