Verifique se as matrizes A e B são semelhantes, em cada caso abaixo:
A=(ll7 & 0 1 & 7) e B=(ll7 & 1 0 & 7);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as matrizes
A = 7 & 01 & 7 e B = 7 & 10 & 7
são semelhantes. Vamos usar como teoria o fato de que duas matrizes são semelhantes se e somente se têm o mesmo polinômio característico, mesma multiplicidade geométrica de cada autovalor (portanto mesma forma de Jordan), e então, em caso afirmativo, podemos exibir uma matriz de passagem P que realize a similaridade.

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A e de B. Para ambas as matrizes têm-se
chi(lambda) = detl(M - lambda Ir) = det7-lambda & * * & 7-lambda = (7-lambda)^2
Logo o único autovalor é lambda=7 com multiplicidade algébrica 2 em ambos os casos.

Passo 3

Determinar a multiplicidade geométrica do autovalor lambda=7. Para A:
A - 7I = 0 & 01 & 0,
cujo posto é 1, logo a nulidade é 1. O mesmo cálculo para B - 7I = 0 & 10 & 0 dá posto 1 e nulidade 1. Portanto em cada caso a dimensão do espaço próprio é 1, o que indica um bloco de Jordan único de tamanho 2. Assim A e B têm a mesma forma de Jordan, isto é, um só bloco de ordem 2 em torno de 7.

Passo 4

Concluir semelhança e exibir P. Como B é o bloco de Jordan padrão
7&10&7 e A é o seu transposto, basta usar a matriz de permutação que troca as coordenadas:
P = 0 & 11 & 0,
que satisfaz P^-1=P. Então
P,B,P^-1 = 0&11&0 7&10&7 0&11&0 = 7&01&7 = A
Isso mostra explicitamente que A e B são semelhantes.

Resposta

Sim. Elas são semelhantes, por exemplo com
P = 0 & 11 & 0,
de modo que A = P,B,P^-1.

Exercícios relacionados