Verifique se as matrizes A e B são semelhantes, em cada caso abaixo:
A=(lll3 & 0 & 1 1 & 2 & 1 0 & 0 & 2) e B=(lll3 & 0 & 1 1 & 2 & 0 0 & 0 & 2);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as matrizes
A= 3 & 0 & 1 1 & 2 & 1 0 & 0 & 2 e B= 3 & 0 & 1 1 & 2 & 0 0 & 0 & 2
são semelhantes. Para isso, vamos usar o fato de que matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico e a mesma estrutura de blocos de Jordan, o que inclui as multiplicidades geométricas de cada valor próprio.

Passo 2

Como A e B são triangulares superiores, seus valores próprios são os elementos da diagonal. Assim, ambos têm polinômio característico
chi(lambda)=(3-lambda)(2-lambda)^2,
isto é, lambda=3 com multiplicidade algébrica 1 e lambda=2 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 3

Para lambda=2 em A, consideramos
A-2I= 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0
As equações do sistema (A-2I)x=0 são
x1 + x3 = 0, x1 + x3=0,
logo há apenas uma equação independente em três incógnitas. O espaço nulo tem dimensão
dimker(A-2I)=3 - rank(A-2I)=3-1=2
Portanto, a multiplicidade geométrica de lambda=2 em A é 2.

Passo 4

Para lambda=2 em B, temos
B-2I= 1 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0
As equações do sistema (B-2I)x=0 são
x1 + x3 = 0, x1 = 0,
que são duas equações independentes em três incógnitas. Logo
dimker(B-2I)=3-2=1
Assim, a multiplicidade geométrica de lambda=2 em B é 1.

Passo 5

Como a multiplicidade geométrica de lambda=2 difere em A (é 2) e em B (é 1), as matrizes não podem ter a mesma forma de Jordan. Portanto, não são semelhantes.

Resposta

As matrizes A e B não são semelhantes.

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