Consideremos os espaços vetoriais complexos U=M(2, C) e V=C[x]3. Encontre uma transformação linear T: U V tal que o núcleo de T seja o subespaço W definido por
W=(cc x & y z & w ): x+w=0 e y-z=0

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear T:Uto V, onde U=M(2,C) e V=C[x]3, tal que
ker T = W = lx & y z & w: x+w=0 e y-z=0r
Como dim U=4 e as duas condições x+w=0, y-z=0 definem um subespaço de dimensão 2, pela nulidade–posto temos dimker T=2 e rank,T=2. Precisamos então de dois funcionais lineares independentes em U cujo aniquilador seja exatamente W.

Passo 2

Escolhemos os funcionais
f1!l(x & y z & wr)=x+w, f2!l(x & y z & wr)=y-z
Eles são lineares e f1=0 e f2=0 simultaneamente se, e somente se, a matriz pertence a W.

Passo 3

Definimos então
Tcolon M(2,C)toC[x]3, Tl(x & y z & wr) = f1l(x & y z & wr) +f2l(x & y z & wr),x
Em outras palavras,
Tl(x & y z & wr) =(x+w)+(y-z),x

Passo 4

Verificamos o núcleo:
T(A)=0Long<=ftrightarrow x+w=0 e y-z=0,
que é exatamente a condição para Ain W. Logo ker T=W.

Resposta

Tcolon M(2,C)toC[x]3, Tl(x & y z & wr) =(x+w)+(y-z),x,
pois assim ker T=x+w=0,;y-z=0=W.

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