Sejam
uma base de
e
uma transformação linear. Mostre que uma (e somente uma) das seguintes condições se verifica:
(a)
é linearmente independente.
(b)
.
(c)
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
e
é base de
. Queremos mostrar que exatamente uma das três condições abaixo ocorre, usando o Teorema do Núcleo e Imagem (posto–nulidade):
(a) é linearmente independente,
(b) ,
(c) .
(a)
(b)
(c)
Passo 2
Pela dimensão do domínio temos
Logo
.
Se , então
é injetora e os vetores
e
são independentes: de
Se
segue
, logo
e como
é base,
. Assim (a) vale e nem (b) nem (c) podem valer, pois
.
Passo 3
Se
, então (b) vale por definição. Além disso
está em um espaço unidimensional, logo é linearmente dependente, impedindo (a), e claramente
, impedindo (c).
Passo 4
Se
, então
e
. Isso é exatamente (c), enquanto (a) e (b) falham porque
.
Passo 5
Como
só pode ser
,
ou
, mostramos que em cada caso exatamente uma das condições (a), (b) ou (c) ocorre.
Resposta
Mostrou-se que, dependendo de
, temos respectivamente (c), (b) ou (a), e nenhuma outra combinação é possível.