Sejam u, v uma base de R^2 e T:R^2 R[x]7 uma transformação linear. Mostre que uma (e somente uma) das seguintes condições se verifica:
(a) T(u), T(v) é linearmente independente.
(b) dimim(T)=1.
(c) im(T)=0.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
Tcolon R^2 to R[x]7
e u,v é base de R^2. Queremos mostrar que exatamente uma das três condições abaixo ocorre, usando o Teorema do Núcleo e Imagem (posto–nulidade):
(a) T(u),T(v) é linearmente independente,
(b) diml(imTr)=1,
(c) imT=0.

Passo 2

Pela dimensão do domínio temos
diml(R^2r)=2 e diml(R^2r)=diml(ker Tr)+diml(imTr)
Logo dim(imT)in0,1,2.
Se dim(imT)=2, então T é injetora e os vetores T(u) e T(v) são independentes: de
a,T(u)+b,T(v)=0
segue T(au+bv)=0, logo au+bv=0 e como u,v é base, a=b=0. Assim (a) vale e nem (b) nem (c) podem valer, pois dim(imT)=2neq1,0.

Passo 3

Se dim(imT)=1, então (b) vale por definição. Além disso T(u),T(v) está em um espaço unidimensional, logo é linearmente dependente, impedindo (a), e claramente imTneq0, impedindo (c).

Passo 4

Se dim(imT)=0, então imT=0 e Tequiv0. Isso é exatamente (c), enquanto (a) e (b) falham porque dim(imT)neq2,1.

Passo 5

Como dim(imT) só pode ser 0, 1 ou 2, mostramos que em cada caso exatamente uma das condições (a), (b) ou (c) ocorre.

Resposta

Mostrou-se que, dependendo de dim(imT)in0,1,2, temos respectivamente (c), (b) ou (a), e nenhuma outra combinação é possível.

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