Encontre uma transformação linear tal que o núcleo seja o plano de equação: .
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear
cujo núcleo seja o plano de equação
Aqui estamos em Álgebra Linear, usando o Teorema da Dimensão (nulidade mais posto dimensão do domínio) e a caracterização do núcleo de uma transformação linear.
Passo 2
Como o plano é um subespaço de dimensão em , temos
Pelo Teorema da Dimensão,
logo
Isto significa que a imagem de é uma reta em .
Passo 3
Uma forma direta de garantir que é projetar num vetor normal ao plano, por exemplo . Definimos primeiro a aplicação escalar
que tem núcleo exatamente o plano dado. Para obter um valor em de posto , basta embutir esse escalar numa coordenada de .
Passo 4
Portanto, definimos
É claro que é linear, sua matriz na base canônica é
e
T(x,y,z)=(0,0)iff x+y-z=0,
isto é, ker T é exatamente o plano desejado.
Resposta
Uma transformação linear com ker T=(x,y,z)mid x+y-z=0 é