Encontre uma transformação linear T: R^3 R^2 tal que o núcleo seja o plano de equação: x+y-z=0.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
T: R^3toR^2
cujo núcleo seja o plano de equação
x + y - z = 0
Aqui estamos em Álgebra Linear, usando o Teorema da Dimensão (nulidade mais posto = dimensão do domínio) e a caracterização do núcleo de uma transformação linear.

Passo 2

Como o plano x+y-z=0 é um subespaço de dimensão 2 em R^3, temos
dim(ker T)=2
Pelo Teorema da Dimensão,
dim(ker T)+dim(ImT)=3,
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dim(ImT)=1
Isto significa que a imagem de T é uma reta em R^2.

Passo 3

Uma forma direta de garantir que ker T=(x,y,z)mid x+y-z=0 é projetar num vetor normal ao plano, por exemplo n=(1,1,-1). Definimos primeiro a aplicação escalar
L(x,y,z)=lang<= n,(x,y,z)rang<= = x+y-z,
que tem núcleo exatamente o plano dado. Para obter um valor em R^2 de posto 1, basta embutir esse escalar numa coordenada de R^2.

Passo 4

Portanto, definimos
T(x,y,z)=l(L(x,y,z),,0r)=l(x+y-z,,0r)
É claro que T é linear, sua matriz na base canônica é
1 & 1 & -1 0 & 0 & 0 ,
e
T(x,y,z)=(0,0)iff x+y-z=0,
isto é, ker T é exatamente o plano desejado.

Resposta

Uma transformação linear com ker T=(x,y,z)mid x+y-z=0 é
T(x,y,z) = l(x+y-z,;0r)

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