Seja T: R^4 R[x]3 linear tal que
l T(1,1,1,1)=x^2+x^3 T(1,0,1,1)=x+3 x^2+3 x^3 T(0,0,1,1)=x+2 x^2+2 x^3, e T(0,0,1,0)=x+x^2+x^3
Determine subespaços U1 subset R^4 e U2 subset R[x]3 tais que
R^4=nuc(T) oplus U1 e R[x]3=im(T) oplus U2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de álgebra linear, mais especificamente sobre transformações lineares, núcleo (nuc(T)), imagem (im(T)) e subespaços. A gente vai precisar entender o que é o núcleo e a imagem de uma transformação linear, além de como encontrar complementos diretos desses subespaços. Então, a missão é determinar dois subespaços U1 e U2 que, juntos, completam R^4 e R[x]3 respectivamente, respeitando as relações de soma direta com o núcleo e a imagem de uma transformação linear T .

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o núcleo de [T), ou seja, todos os vetores que são enviados para o vetor zero na imagem: . Para isso, precisamos resolver o sistema .
Sabemos que é linear, então podemos escrever qualquer vetor em e expressar como combinação linear das imagens dos vetores base dados.
Vamos montar as equações:
Expressando (T(a, b, c, d)] como combinação linear:
Isso resulta em:
Agrupando os termos por potência de :
Para que isso seja igual a zero, os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
Perceba que a última equação é igual à segunda, então temos apenas duas equações para quatro incógnitas.

Passo 3

Agora, vamos resolver o sistema b + c + d = 0 e a + 3b + 2c + d = 0 .
Podemos expressar algumas variáveis em função das outras. Vamos resolver em termos de c e d :
Da primeira equação:
b = -c - d
Substituindo b na segunda equação:
a + 3(-c - d) + 2c + d = 0 a - 3c - 3d + 2c + d = 0 a - c - 2d = 0 a = c + 2d
Então, expressamos a e b em função de c e d :
a = c + 2d b = -c - d
Isso significa que o núcleo de T é formado por vetores da forma:
v = (c + 2d, -c - d, c, d)
= c(1, -1, 1, 0) + d(2, -1, 0, 1)
Portanto, uma base para o núcleo é (1, -1, 1, 0), (2, -1, 0, 1) .

Passo 4

Com o núcleo identificado, sabemos que nuc(T) é um subespaço de R^4 com dimensão 2 (porque temos duas vetores na base). Agora, para encontrar U1 tal que R^4 = nuc(T) oplus U1 , precisamos de um subespaço complementar a nuc(T) .
Como R^4 tem dimensão 4 e nuc(T) tem dimensão 2, U1 também precisa ter dimensão 2. Para encontrar U1 , escolhemos vetores que não estão no núcleo de T e são linearmente independentes.
Olhemos para as imagens de T . Vamos ver se conseguimos identificar vetores em R^4 que, quando aplicados a T , geram os polinômios dados.
Vamos observar que os vetores (1,0,1,1) e (0,0,1,0) são bons candidatos para formar U1 , já que suas imagens são diferentes e não pertencem ao núcleo.

Passo 5

Agora, vamos confirmar que U1 formado por (1,0,1,1), (0,0,1,0) é realmente complementar ao núcleo de T .
Primeiro, verificamos se esses vetores não estão no núcleo. Aplicando T :
T(1,0,1,1) = x + 3x^2 + 3x^3 neq 0 T(0,0,1,0) = x + x^2 + x^3 neq 0
Como eles não estão no núcleo, estão fora dele. Além disso, esses vetores são linearmente independentes, pois nenhum é múltiplo do outro.
Portanto, U1 = span (1,0,1,1), (0,0,1,0) .

Passo 6

Agora, vamos determinar [U_2) em tal que .
Primeiro, vamos encontrar a imagem de , ou seja, todos os polinômios que podemos obter aplicando em . Observando as imagens dadas:
Notamos que esses polinômios estão no espaço , que tem dimensão 4 (baseado em ).
Vamos verificar a independência linear dos polinômios na imagem:
Suponha que:
Isso nos dá o sistema:
Para todas as potências de (x] serem zero, temos:
Isso mostra que os polinômios são linearmente dependentes, indicando que a imagem de tem dimensão 2.
Portanto, precisamos de com dimensão .

Passo 7

Para encontrar U2 , precisamos de dois polinômios que não estão na imagem de T e que, juntos com a imagem, formem uma base para R[x]3 .
Observando os polinômios na imagem de T :
im(T) = span x^2 + x^3, x + 3x^2 + 3x^3
Podemos escolher polinômios que completam a base, por exemplo, 1 e x .
Então, podemos definir:
U2 = span 1, x
Isso porque 1 e x não estão na imagem de T e, juntos com im(T) , formam uma base para R[x]3 .

Resposta

U1 = span, (1, 0, 1, 1), (0, 0, 1, 0) , e U2 = span, 1, x ,

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