Consideremos as funções [x]= maior inteiro menor ou igual a x ex= distância de x ao inteiro mais próximo. Encontre a representação geométrica do gráfico das seguintes funções:
c) f(x)=x-[x], para x in R

Passo 1

O enunciado pede o gráfico da função
f(x)=x-lfloor xrfloor
onde lfloor xrfloor é a maior parte inteira de x. O conteúdo é a definição de parte inteira e parte fracionária, e vamos precisar escrever f de forma piecewise em cada intervalo entre inteiros.

Passo 2

Em cada intervalo [n,n+1), com ninZ, temos
lfloor xrfloor = n,
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f(x)=x-npara xin[n,n+1)

Passo 3

A expressão f(x)=x-n é uma reta de inclinação 1 e intercepto -n. Nesses intervalos:
  • em x=n temos f(n)=n-n=0,
  • quando xto n+1^- temos f(x)to(n+1)-n=1.
Assim, em cada intervalo [n,n+1) o gráfico é um segmento de reta que vai de (n,0) até (n+1,1), incluindo o ponto (n,0) e excluindo (n+1,1).

Passo 4

Como a definição não depende de n além de deslocar o segmento, a função se repete para todo ninZ. Isso mostra que f é periódica de período 1. Em cada período temos o mesmo “dente de serra”.

Passo 5

Geometricamente, o gráfico é a união, para todo ninZ, do segmento de reta
(x,x-n)mid n<= x<n+1,
com ponto fechado em (n,0) e ponto aberto em (n+1,1). É o típico sawtooth wave no intervalo vertical [0,1).

Resposta

Para cada ninZ, o gráfico de f em [n,n+1) é o segmento de reta de inclinação 1 que liga (n,0) (ponto fechado) a (n+1,1) (ponto aberto). Esses segmentos se repetem periodicamente de período 1, formando um “dente de serra” entre y=0 e y=1.

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