Encontre a série de Maclaurin de f(x) usando a definição de uma série de Maclaurin. Também encontre o raio de convergência associado.
f(x)=sinh x

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=sinh x. Isso significa usar a definição
sinh x = sumn=0^infty f^(n)(0)n!,x^n
e também determinar o raio de convergência dessa série.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de sinh x e avaliá-las em x=0:
sinh x alterna com cosh x a cada derivada, ou seja,
f(x)=sinh x, f'(x)=cosh x, f''(x)=sinh x, f'''(x)=cosh x,;dots
Em x=0 temos sinh0=0 e cosh0=1. Logo
f^(n)(0)= 0, & n par, 1, & n ímpar í

Passo 3

Substituindo na definição da série de Maclaurin, só aparecem termos ímpares:

Passo 4

Reescrevendo o índice como n=2k+1 (com k=0,1,2,dots), fica
sinh x = sumk=0^infty x^2k+1(2k+1)!

Passo 5

Para achar o raio de convergência usamos o teste da razão nos termos gerais
ak=x^2k+1(2k+1)!. Calculamos
limktoinfty |ak+1ak| =limktoinfty |x|^2k+3/(2k+3)!|x|^2k+1/(2k+1)! =limktoinfty|x|^2(2k+2)(2k+3) =0
Como esse limite é 0<1 para todo x, o raio de convergência é infinito.

Resposta

sinh x = sumk=0^infty x^2k+1(2k+1)!,
com raio de convergência R = infty.

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