Encontre a série de Maclaurin de
usando a definição de uma série de Maclaurin. Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin de
. Isso significa usar a definição
e também determinar o raio de convergência dessa série.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
:
alterna com
a cada derivada, ou seja,
Em
temos
e
. Logo
Passo 3
Substituindo na definição da série de Maclaurin, só aparecem termos ímpares:
Passo 4
Reescrevendo o índice como
n=2k+1 (com
k=0,1,2,dots ), fica
Passo 5
Para achar o raio de convergência usamos o teste da razão nos termos gerais
ak=x^2k+1(2k+1)! . Calculamos
Como esse limite é
0<1 para todo
x , o raio de convergência é infinito.
Resposta
com raio de convergência
R = infty .