Consideremos o grupo
e
definida por
. Mostre que
é um homomorfismo de
em
e calcule seu núcleo.
Passo 1
O enunciado dá o grupo
e a aplicação
definida por
O que é pedido:
- Mostrar que
é um homomorfismo de grupos de em . - Calcular o núcleo de
, isto é, .
Passo 2
Definição prática usada: uma aplicação
entre grupos abelianos é homomorfismo se, para todo
,
Vou aplicar isso a
. Tome dois elementos quaisquer
e
em
. A soma em
é componente a componente, logo
Passo 3
Agora aplico
à soma:
Já
é
As duas expressões coincidem para quaisquer
. Logo
portanto
é um homomorfismo de grupos.]
Passo 4
Definição prática do núcleo:
A segunda equação é simplesmente
. Na reta dos inteiros,
implica
, mas aqui já temos diretamente
. Assim a condição é
Passo 5
Portanto
Observação útil: esse conjunto é o subgrupo gerado por
, pois qualquer
(soma de
cópias de
se
, e análoga para
). Logo
, que é isomorfo a
.