Consideremos o grupo G=(Z \times Z,+) e f: G \longrightarrow G definida por f(x, y)=(x-y, 3 x-3 y). Mostre que f é um homomorfismo de G em G e calcule seu núcleo.

Passo 1

O enunciado dá o grupo G=(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z},+) e a aplicação f:G\longrightarrow G definida por
f(x,y)=(x-y,\;3x-3y).
O que é pedido:
  • Mostrar que f é um homomorfismo de grupos de G em G.
  • Calcular o núcleo de f, isto é, \ker(f)=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\mid f(x,y)=(0,0)\}.

Passo 2

Definição prática usada: uma aplicação f entre grupos abelianos é homomorfismo se, para todo a,b\in G,
f(a+b)=f(a)+f(b).
Vou aplicar isso a G=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}. Tome dois elementos quaisquer (x_1,y_1) e (x_2,y_2) em G. A soma em G é componente a componente, logo
(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).

Passo 3

Agora aplico f à soma:
\begin{aligned} f\big((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\big) &=f(x_1+x_2,\;y_1+y_2)\\[4pt] &=\big((x_1+x_2)-(y_1+y_2),\;3(x_1+x_2)-3(y_1+y_2)\big)\\[4pt] &=\big((x_1-y_1)+(x_2-y_2),\;3(x_1-y_1)+3(x_2-y_2)\big). \end{aligned}
f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2) é
\big(x_1-y_1,\;3x_1-3y_1\big)+\big(x_2-y_2,\;3x_2-3y_2\big) =\big((x_1-y_1)+(x_2-y_2),\;3(x_1-y_1)+3(x_2-y_2)\big).
As duas expressões coincidem para quaisquer (x_1,y_1),(x_2,y_2). Logo
f\big((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\big)=f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2),
portanto f é um homomorfismo de grupos.]

Passo 4

Definição prática do núcleo: \ker(f)=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\mid f(x,y)=(0,0)\}\). Escrevendo a igualdade \(f(x,y)=(0,0)\) obtemos o sistema de equações em \(\mathbb{Z}\): \[\begin{cases} x-y=0,\\[4pt] 3x-3y=0. \end{cases}
A segunda equação é simplesmente 3(x-y)=0\], que é redundante se já sabemos \(x-y=0. Na reta dos inteiros, 3k=0 implica k=0, mas aqui já temos diretamente x-y=0. Assim a condição é
x-y=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=y.]

Passo 5

Portanto
\ker(f)=\{(x,x)\mid x\in\mathbb{Z}\}.
Observação útil: esse conjunto é o subgrupo gerado por (1,1), pois qualquer (x,x)=x\cdot(1,1) (soma de x cópias de (1,1) se x\ge0, e análoga para x<0). Logo \ker(f)=\langle(1,1)\rangle, que é isomorfo a \mathbb{Z}.

Resposta

f é um homomorfismo de G em G.\n \ker(f)=\{(x,x)\mid x\in\mathbb{Z}\}=\langle(1,1)\rangle.

Exercícios relacionados