(2,5) Determine o domínio das funções indicadas abaixo.
f(x)=\sqrt{|x+4|-|x-1|}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sqrt{|x+4|-|x-1|} e pede o domínio dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função envolve uma raiz quadrada: para que f(x) esteja definida, o radicando deve ser maior ou igual a zero.
  • O radicando é |x+4|-|x-1|. Portanto precisamos resolver a desigualdade
|x+4|-|x-1|\ge 0,
ou seja
|x+4|\ge |x-1|.
  • Valores que tornam as expressões dentro dos módulos nulas são x=-4 e x=1; esses pontos normalmente dividem o eixo real em regiões onde os módulos se simplificam de forma diferente.

Passo 2

Conceito chave (mini-aula): domínio e restrição da raiz
  • Para qualquer função da forma \sqrt{g(x)}, o domínio é o conjunto de x tais que g(x)\ge 0, porque não aceitamos raiz quadrada de número negativo (no contexto dos números reais).
  • Aqui g(x)=|x+4|-|x-1|. Logo o objetivo é achar todos os x que satisfazem |x+4|-|x-1|\ge 0, isto é |x+4|\ge |x-1|.

Passo 3

Método 1 — manipulação algébrica simples (quadrando as duas partes)
  • Observação: |x+4| e |x-1| são sempre não-negativos, então podemos quadrar ambos os lados da desigualdade mantendo equivalência.
  • Começamos com
|x+4|\ge |x-1|.
  • Ao quadrar (ambos os lados \ge0), obtemos
(x+4)^2 \ge (x-1)^2.
  • Expandindo os quadrados:
x^2+8x+16 \ge x^2-2x+1.
  • Cancelando x^2 dos dois lados e juntando termos semelhantes:
8x+16 \ge -2x+1.
8x + 2x \ge 1 - 16.
10x \ge -15.
x \ge -\tfrac{15}{10} = -\tfrac{3}{2}.
  • Portanto, pela manipulação algébrica, a condição para o radicando ser não-negativo é x\ge -\tfrac{3}{2}.

Passo 4

Por que o passo de quadrar é válido aqui? (explicação didática)
  • Em geral, se a\ge b e ambos são números reais não-negativos, então a^2\ge b^2 e o processo é equivalente. Como |x+4| e |x-1| são sempre \ge0, não introduzimos soluções extranhas nem perdemos soluções ao elevar ao quadrado. Por isso o método é seguro neste problema.

Passo 5

Método 2 — verificação por casos (método clássico com intervalos) para reforçar a intuição
  • Dividimos a reta em três intervalos segundo os pontos onde os sinais dentro dos módulos mudam: x<-4, -4\le x<1 e x\ge1.
  1. Se x\le -4:
    • |x+4|=-(x+4)=-x-4 e |x-1|=-(x-1)=-x+1.
    • Então |x+4|-|x-1| = (-x-4)-(-x+1) = -5, que é negativo; logo nenhuma x\le -4 satisfaz a desigualdade.
  2. Se -4\le x\le 1:
    • |x+4|=x+4 e |x-1|=-(x-1)=-x+1.
    • Então |x+4|-|x-1| = (x+4)-(-x+1)=2x+3.
    • A condição 2x+3\ge0 x\ge -\tfrac{3}{2}.
    • Interseção com este intervalo [-4,1] resulta em [-\,\tfrac{3}{2},\,1].
  3. Se x\ge1:
    • |x+4|=x+4 e |x-1|=x-1.
    • Então |x+4|-|x-1|=(x+4)-(x-1)=5>0, ou seja, toda x\ge1 satisfaz.
  • Juntando os resultados dos três casos obtemos todas as x que satisfazem a desigualdade: todos os x a partir de -\tfrac{3}{2}.

Passo 6

Verificação de extremos e conclusão técnica
  • Em x=-\tfrac{3}{2} o radicando vale zero (caso do intervalo do meio, 2x+3=0), e \sqrt{0} é definido — portanto a borda é incluída.
  • Para x< -\tfrac{3}{2} vimos que o radicando é negativo (por exemplo em x\le -4 é -5, e no resto do segmento entre -4 e -\tfrac{3}{2} a expressão 2x+3<0), logo essas x não pertencem ao domínio.

Resposta

\left[-\tfrac{3}{2},\infty\right)

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