(2,5) Determine o domínio das funções indicadas abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o domínio dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
- A função envolve uma raiz quadrada: para que
esteja definida, o radicando deve ser maior ou igual a zero. - O radicando é
. Portanto precisamos resolver a desigualdade
ou seja
- Valores que tornam as expressões dentro dos módulos nulas são
e ; esses pontos normalmente dividem o eixo real em regiões onde os módulos se simplificam de forma diferente.
Passo 2
Conceito chave (mini-aula): domínio e restrição da raiz
- Para qualquer função da forma
, o domínio é o conjunto de tais que , porque não aceitamos raiz quadrada de número negativo (no contexto dos números reais). - Aqui
. Logo o objetivo é achar todos os que satisfazem , isto é .
Passo 3
Método 1 — manipulação algébrica simples (quadrando as duas partes)
- Observação:
e são sempre não-negativos, então podemos quadrar ambos os lados da desigualdade mantendo equivalência. - Começamos com
- Ao quadrar (ambos os lados
), obtemos
- Expandindo os quadrados:
- Cancelando
dos dois lados e juntando termos semelhantes:
- Portanto, pela manipulação algébrica, a condição para o radicando ser não-negativo é
.
Passo 4
Por que o passo de quadrar é válido aqui? (explicação didática)
- Em geral, se
e ambos são números reais não-negativos, então e o processo é equivalente. Como e são sempre , não introduzimos soluções extranhas nem perdemos soluções ao elevar ao quadrado. Por isso o método é seguro neste problema.
Passo 5
Método 2 — verificação por casos (método clássico com intervalos) para reforçar a intuição
- Dividimos a reta em três intervalos segundo os pontos onde os sinais dentro dos módulos mudam:
, e .
- Se
: -
e . - Então
, que é negativo; logo nenhuma satisfaz a desigualdade.
-
- Se
: -
e . - Então
. - A condição
dá . - Interseção com este intervalo
resulta em .
-
- Se
: -
e . - Então
, ou seja, toda satisfaz.
-
- Juntando os resultados dos três casos obtemos todas as
que satisfazem a desigualdade: todos os a partir de .
Passo 6
Verificação de extremos e conclusão técnica
- Em
o radicando vale zero (caso do intervalo do meio, ), e é definido — portanto a borda é incluída. - Para
vimos que o radicando é negativo (por exemplo em é , e no resto do segmento entre e a expressão ), logo essas não pertencem ao domínio.