Seja \Delta a operação sobre \mathbb{R} definida por x \Delta y=x+y+x y. Verifique se essa operação é comutativa, se é associativa e se tem elemento neutro.

Passo 1

O enunciado define uma operação \Delta em \mathbb{R} por
x \Delta y = x + y + x y,
e pede que verifiquemos três coisas:
  • se \Delta é comutativa (isto é, se x \Delta y = y \Delta x para todo x,y\in\mathbb{R});
  • se \Delta é associativa (isto é, se (x \Delta y)\Delta z = x\Delta(y\Delta z) para todo x,y,z\in\mathbb{R});
  • se \Delta tem elemento neutro (isto é, se existe e\in\mathbb{R} tal que x\Delta e = e\Delta x = x para todo x\in\mathbb{R}).

Passo 2

Comutatividade: recordar a definição e checar diretamente.
Definição: \Delta é comutativa se, para todo x,y\in\mathbb{R},
x \Delta y = y \Delta x.
Cálculo direto:
x \Delta y = x + y + x y,
y \Delta x = y + x + y x.
Como a adição e a multiplicação em \mathbb{R} são comutativas, tem-se y+x = x+y e y x = x y. Portanto as duas expressões coincidem e
x \Delta y = y \Delta x\quad\text{para todo }x,y.
Logo, \Delta é comutativa.

Passo 3

Associatividade: lembrar a definição e comparar os dois lados.
Definição: \Delta é associativa se, para todo x,y,z\in\mathbb{R},
(x \Delta y)\Delta z = x\Delta(y\Delta z).
Calcular o lado esquerdo:
x \Delta y = x + y + x y,
(x \Delta y)\Delta z = (x+y+xy) + z + (x+y+xy)z.
Desenvolvendo:
(x \Delta y)\Delta z = x + y + x y + z + x z + y z + x y z.
Calcular o lado direito:
y \Delta z = y + z + y z,
x\Delta(y\Delta z) = x + (y+z+yz) + x(y+z+yz).
Desenvolvendo:
x\Delta(y\Delta z) = x + y + z + y z + x y + x z + x y z.
Comparando as duas somas vê-se que ambas têm exatamente os mesmos termos x, y, z, xy, xz, yz e xyz, logo são iguais:
(x \Delta y)\Delta z = x\Delta(y\Delta z)\quad\text{para todo }x,y,z.
Portanto, \Delta é associativa.
(Observação útil para prova rápida: nota-se a identidade \,x\Delta y=(1+x)(1+y)-1, e como a multiplicação é associativa isso também explica por que \Delta é associativa.)

Passo 4

Elemento neutro: definir e e resolver a condição.
Procuramos e\in\mathbb{R} tal que, para todo x\in\mathbb{R},
x \Delta e = x.
Escrevendo,
x + e + x e = x.
Subtraindo x dos dois lados:
e + x e = 0.
Fatorando:
e(1+x) = 0.
Essa igualdade deve valer para todo x. Tomando, por exemplo, x=0 obtemos e(1+0)=e=0. Assim e=0. Verificação:
x \Delta 0 = x + 0 + x\cdot 0 = x,
e, por comutatividade,
0 \Delta x = x.
Logo e=0 é elemento neutro. (Também é único: se houvesse outro e' então e = e \Delta e' = e'.)

Resposta

Comutativa: sim.
Associativa: sim.
Elemento neutro: 0.

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