Seja
a operação sobre
definida por
. Verifique se essa operação é comutativa, se é associativa e se tem elemento neutro.
Passo 1
O enunciado define uma operação
em
por
e pede que verifiquemos três coisas:
- se
é comutativa (isto é, se para todo ); - se
é associativa (isto é, se para todo ); - se
tem elemento neutro (isto é, se existe tal que para todo ).
Passo 2
Comutatividade: recordar a definição e checar diretamente.
Definição:
é comutativa se, para todo
,
Cálculo direto:
Como a adição e a multiplicação em
são comutativas, tem-se
e
. Portanto as duas expressões coincidem e
Logo,
é comutativa.
Passo 3
Associatividade: lembrar a definição e comparar os dois lados.
Definição:
é associativa se, para todo
,
Calcular o lado esquerdo:
Desenvolvendo:
Calcular o lado direito:
Desenvolvendo:
Comparando as duas somas vê-se que ambas têm exatamente os mesmos termos
,
,
,
,
,
e
, logo são iguais:
Portanto,
é associativa.
(Observação útil para prova rápida: nota-se a identidade
, e como a multiplicação é associativa isso também explica por que
é associativa.)
Passo 4
Elemento neutro: definir
e resolver a condição.
Procuramos
tal que, para todo
,
Escrevendo,
Subtraindo
dos dois lados:
Fatorando:
Essa igualdade deve valer para todo
. Tomando, por exemplo,
obtemos
. Assim
. Verificação:
e, por comutatividade,
Logo
é elemento neutro. (Também é único: se houvesse outro
então
.)
Resposta
Comutativa: sim.
Associativa: sim.
Elemento neutro: .
Associativa: sim.
Elemento neutro: