Seja H=\left\{\left.\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\\ x & x\end{array}\right] \right\rvert\, x \in \mathbb{R}\right\}. Verifique se H é um subgrupo de G=\left(M_{2 \times 2}(\mathbb{R}),+\right).
Passo 1
O enunciado fornece o conjunto
H=\left\{\left.\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\\ x & x\end{array}\right]\right\rvert\, x\in\mathbb{R}\right\}
e o grupo ambientede G=\bigl(M_{2\times2}(\mathbb{R}),+\bigr). A pergunta é: verificar se H é um subgrupo de G.
Informações úteis dadas:
Cada elemento de H é uma matriz 2\times2 cuja primeira linha é sempre \bigl[1\\\ 1\bigr] e a segunda linha é \bigl[x\\ x\bigr] com x\in\mathbb{R}.
A operação em G é a adição usual de matrizes.
Passo 2
O que significa ser subgrupo neste contexto (explicação didática): para um subconjunto H de um grupo aditivo G ser subgrupo, é necessário e suficiente que:
H seja não vazio;
H contenha o elemento neutro aditivo de G (a matriz zero \,0_{2\times2}\,);
H seja fechado sob adição (a soma de dois elementos de H deve estar em H);
todo elemento de H tenha seu inverso aditivo em H.
Uma forma compacta muito usada: verificar que H é não vazio e que para quaisquer A,B\in H vale A-B\in H. Aqui vou usar os itens explícitos (neutro, fechamento, inversos) porque ajudam a ver rapidamente contraexemplos.
Passo 3
Verificação do elemento neutro: o neutro aditivo em G é a matriz nula
Isto exigiria 1=0 (comparando a entrada superior esquerda), o que é impossível. Logo
0_{2\times2}\notin H.
Portanto H não contém o neutro aditivo de G.]
Passo 4
Conclusão imediata a partir do neutro: como um subgrupo deve conter o neutro aditivo e H não o contém, isso já basta para concluir que H não é subgrupo de G. Ainda assim, para fixar bem a ideia, posso mostrar contradições também com fechamento e inversos (é bom ver vários jeitos de falhar).
Passo 5
Contraexemplo de fechamento (didático): tome dois elementos arbitrários de H com parâmetros x_1,x_2\in\mathbb{R}:
Qualquer matriz em H tem primeira linha \bigl[1\\\ 1\bigr], mas A+B tem primeira linha \bigl[2\\\ 2\bigr]. Logo A+B\notin H para quaisquer x_1,x_2. Exemplo específico: com x_1=0 e x_2=0,
o que exigiria -1=1, impossível. Logo -A\notin H para todo A\in H. Assim H não contém os inversos aditivos de seus elementos.]
Passo 7
Síntese final: H falha em conter o neutro aditivo, não é fechado sob adição e não contém inversos aditivos. Qualquer uma dessas falhas é suficiente para afirmar que H não é subgrupo de G. Mantém a conclusão simples e direta.