Seja H=\left\{\left.\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\\ x & x\end{array}\right] \right\rvert\, x \in \mathbb{R}\right\}. Verifique se H é um subgrupo de G=\left(M_{2 \times 2}(\mathbb{R}),+\right).

Passo 1

O enunciado fornece o conjunto
H=\left\{\left.\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\\ x & x\end{array}\right]\right\rvert\, x\in\mathbb{R}\right\}
e o grupo ambientede G=\bigl(M_{2\times2}(\mathbb{R}),+\bigr). A pergunta é: verificar se H é um subgrupo de G.
Informações úteis dadas:
  • Cada elemento de H é uma matriz 2\times2 cuja primeira linha é sempre \bigl[1\\\ 1\bigr] e a segunda linha é \bigl[x\\ x\bigr] com x\in\mathbb{R}.
  • A operação em G é a adição usual de matrizes.

Passo 2

O que significa ser subgrupo neste contexto (explicação didática): para um subconjunto H de um grupo aditivo G ser subgrupo, é necessário e suficiente que:
  1. H seja não vazio;
  2. H contenha o elemento neutro aditivo de G (a matriz zero \,0_{2\times2}\,);
  3. H seja fechado sob adição (a soma de dois elementos de H deve estar em H);
  4. todo elemento de H tenha seu inverso aditivo em H.
    Uma forma compacta muito usada: verificar que H é não vazio e que para quaisquer A,B\in H vale A-B\in H. Aqui vou usar os itens explícitos (neutro, fechamento, inversos) porque ajudam a ver rapidamente contraexemplos.

Passo 3

Verificação do elemento neutro: o neutro aditivo em G é a matriz nula
0_{2\times2}=\left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\[2pt] 0 & 0\end{array}\right].
Para que 0_{2\times2} pertença a H deveria existir x\in\mathbb{R} tal que
\left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\[2pt] 0 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\[2pt] x & x\end{array}\right].
Isto exigiria 1=0 (comparando a entrada superior esquerda), o que é impossível. Logo
0_{2\times2}\notin H.
Portanto H não contém o neutro aditivo de G.]

Passo 4

Conclusão imediata a partir do neutro: como um subgrupo deve conter o neutro aditivo e H não o contém, isso já basta para concluir que H não é subgrupo de G. Ainda assim, para fixar bem a ideia, posso mostrar contradições também com fechamento e inversos (é bom ver vários jeitos de falhar).

Passo 5

Contraexemplo de fechamento (didático): tome dois elementos arbitrários de H com parâmetros x_1,x_2\in\mathbb{R}:
A=\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\[2pt] x_1 & x_1\end{array}\right],\qquad B=\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\[2pt] x_2 & x_2\end{array}\right].
A soma é
A+B=\left[\begin{array}{cc}1+1 & 1+1 \\[2pt] x_1+x_2 & x_1+x_2\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}2 & 2 \\[2pt] x_1+x_2 & x_1+x_2\end{array}\right].
Qualquer matriz em H tem primeira linha \bigl[1\\\ 1\bigr], mas A+B tem primeira linha \bigl[2\\\ 2\bigr]. Logo A+B\notin H para quaisquer x_1,x_2. Exemplo específico: com x_1=0 e x_2=0,
\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\[2pt] 0 & 0\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\[2pt] 0 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & 2 \\[2pt] 0 & 0\end{array}\right]\notin H.
Portanto H não é fechado sob adição.]

Passo 6

Contraexemplo de inversos: para um elemento genérico de H,
A=\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\[2pt] x & x\end{array}\right],
o inverso aditivo em G é
-A=\left[\begin{array}{cc}-1 & -1 \\[2pt] -x & -x\end{array}\right].
Para que -A pertença a H deveria existir y\in\mathbb{R} tal que
\left[\begin{array}{cc}-1 & -1 \\[2pt] -x & -x\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\[2pt] y & y\end{array}\right],
o que exigiria -1=1, impossível. Logo -A\notin H para todo A\in H. Assim H não contém os inversos aditivos de seus elementos.]

Passo 7

Síntese final: H falha em conter o neutro aditivo, não é fechado sob adição e não contém inversos aditivos. Qualquer uma dessas falhas é suficiente para afirmar que H não é subgrupo de G. Mantém a conclusão simples e direta.

Resposta

Não, H não é subgrupo de G.

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