Verifique se em cada um dos itens o conjunto S é um subespaço vetorial de V.
S=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 3 x-2 y=0\right\}, onde V=\mathbb{R}^{2} com as operações usuais.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 3x - 2y = 0\}
é subespaço de V=\mathbb{R}^2 com as operações usuais. Para isso, vamos usar o critério clássico de subespaço: mostrar que
  1. o vetor zero pertence a S,
  2. S é fechado sob soma,
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0) está em S. Substituindo em 3x - 2y = 0, temos
3\cdot0 - 2\cdot0 = 0,
logo (0,0)\in S.

Passo 3

Fechamento sob soma. Tomemos dois vetores arbitrários (x_1,y_1) e (x_2,y_2) em S, ou seja
3x_1 - 2y_1 = 0 \quad\text{e}\quad 3x_2 - 2y_2 = 0.
Então, para a soma (x_1+x_2,\;y_1+y_2) vale
3(x_1+x_2) - 2(y_1+y_2) = (3x_1-2y_1) + (3x_2-2y_2) = 0 + 0 = 0,
logo (x_1+x_2,y_1+y_2)\in S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e (x,y)\in S, isto é 3x-2y=0. Então
3(\alpha x) - 2(\alpha y) = \alpha\,(3x-2y) = \alpha\cdot0 = 0,
ou seja (\alpha x,\alpha y)\in S.

Resposta

O conjunto S satisfaz todas as propriedades de subespaço vetorial de \mathbb{R}^2. Portanto, S é de fato um subespaço de V=\mathbb{R}^2.

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