3 Determinar uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente. Calcule P^{-1} A P.
A=\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede uma matriz P ortogonal que diagonalize a matriz simétrica
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix},
isto é, encontre P tal que P^{-1}AP=D é diagonal. Como A é real simétrica, sabemos pela teoria espectral que existem autovalores reais e podemos escolher um conjunto de autovetores mutuamente ortogonais e normalizá-los.

Passo 2

Notamos que a soma de cada linha de A é 2, logo
A\,(1,1,1)^T=2\,(1,1,1)^T,
ou seja, \lambda_1=2 é um autovalor com autovetor (1,1,1). Para qualquer vetor v=(x,y,z) com x+y+z=0 temos
Av=(y+z,\,x+z,\,x+y)^T=-(x,y,z)^T=-v,
logo \lambda_2=\lambda_3=-1 forma um autovalor de multiplicidade 2 cujo autespaço é o plano \{x+y+z=0\}.

Passo 3

Escolhemos um autovetor não nulo para \lambda_1=2, por exemplo w_1=(1,1,1), e normalizamos:
u_1=\frac{w_1}{\|w_1\|}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1).

Passo 4

No subespaço x+y+z=0 escolhemos dois vetores independentes, por exemplo
w_2=(1,-1,0),\quad w_3=(1,1,-2).
Eles já são ortogonais entre si e a u_1; basta normalizar:
u_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0), \quad u_3=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2).

Passo 5

Montamos a matriz ortogonal P cujas colunas são os vetores unitários u_1,u_2,u_3. Como P é ortogonal, P^{-1}=P^T, e
P^{-1}AP=P^T A P =\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Resposta

A matriz ortogonal que diagonaliza A é
P=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix},
e o produto
P^{-1}AP =\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados