Seja \mathrm{T}: \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{V} um operador ortogonal. Use o fato que T preserva o produto interno e mostre que os valores próprios de T são 1 ou-1.

Passo 1

O enunciado diz que T:V\to V é um operador ortogonal, ou seja, para todo u,v\in V vale
\langle T(u),\,T(v)\rangle = \langle u,\,v\rangle.
Queremos mostrar que, se existir um vetor próprio não-nulo v de T associado ao valor próprio \lambda, então \lambda só pode ser 1 ou -1.

Passo 2

Suponha que v\in V é vetor próprio de T com valor próprio \lambda, ou seja,
T(v)=\lambda\,v,
e v\neq 0.

Passo 3

Como T é ortogonal, ele preserva o produto interno. Em particular, podemos aplicar isso a u=v:
\langle T(v),\,T(v)\rangle \;=\;\langle v,\,v\rangle.

Passo 4

No lado esquerdo substituímos T(v)=\lambda v:
\langle \lambda v,\,\lambda v\rangle =\lambda^2\,\langle v,\,v\rangle.
Logo a igualdade do Passo 3 fica
\lambda^2\,\langle v,\,v\rangle \;=\;\langle v,\,v\rangle.
Como v\neq 0, temos \langle v,\,v\rangle>0, de modo que podemos dividir ambos os lados por \langle v,\,v\rangle e obter
\lambda^2 = 1.

Resposta

Os valores próprios reais de T satisfazem \lambda^2=1, logo \lambda=1 ou \lambda=-1.

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