Seja
um operador ortogonal. Use o fato que T preserva o produto interno e mostre que os valores próprios de T são 1 ou-1.
Passo 1
O enunciado diz que
é um operador ortogonal, ou seja, para todo
vale
Queremos mostrar que, se existir um vetor próprio não-nulo
de
associado ao valor próprio
, então
só pode ser
ou
.
Passo 2
Suponha que
é vetor próprio de
com valor próprio
, ou seja,
e
.
Passo 3
Como
é ortogonal, ele preserva o produto interno. Em particular, podemos aplicar isso a
:
Passo 4
No lado esquerdo substituímos
:
Logo a igualdade do Passo 3 fica
Como
, temos
, de modo que podemos dividir ambos os lados por
e obter
Resposta
Os valores próprios reais de
satisfazem
, logo
ou
.