Conteúdo da matéria: produto de matriz por vetor (entendido como soma de produtos escalares linha–coluna) e interpretação disso como combinação linear das colunas da matriz. Vamos usar:
Produto escalar entre linha de A (ou B) e vetor Y (ou X).
A ideia de que A,Y = y1 a1 + y2 a2 + cdots + yn an, onde ai são as colunas de A.
Passo 2
Calcular A,Y diretamente, usando produto escalar em cada linha de A com Y:
Linha 1 de A: (1,2,3,-1)cdot(2,0,1,3) =1cdot2+2cdot0+3cdot1+(-1)cdot3 =2+0+3-3=2
Linha 2 de A: (2,0,-1,1)cdot(2,0,1,3) =2cdot2+0cdot0+(-1)cdot1+1cdot3 =4+0-1+3=6
Linha 3 de A: (1,1,-1,1)cdot(2,0,1,3) =1cdot2+1cdot0+(-1)cdot1+1cdot3 =2+0-1+3=4
Portanto,
A,Y=264
Passo 3
Agora A,Y como combinação linear das colunas de A. Definindo
a1=121,; a2=201,; a3=3-1-1,; a4=-111,
temos
A,Y =2,a1+0,a2+1,a3+3,a4
Calculando passo a passo:
2 a1=242,
+0 a2=000
→ 242
+1 a3=3-1-1
→ 531
+3 a4=-333
→ 264.
Confere com o resultado direto.
Passo 4
Calcular B,X diretamente, usando produto escalar em cada linha de B com X:
Linha 1 de B: (1,1,4)cdot(1,1,-1) =1cdot1+1cdot1+4cdot(-1) =1+1-4=-2
Linha 2 de B: (2,-1,3)cdot(1,1,-1) =2cdot1+(-1)cdot1+3cdot(-1) =2-1-3=-2
Linha 3 de B: (0,0,1)cdot(1,1,-1) =0+0+1cdot(-1)=-1
Logo
B,X=-2-2-1
Passo 5
Agora B,X como combinação linear das colunas de B. Definindo
b1=120,; b2=1-10,; b3=431,
temos
B,X =1,b1 +1,b2 +(-1),b3
Calculando: b1+b2=210,
menos b3=431
→ 2-41-30-1 =-2-2-1