Consideremos as matrizes
A=(cccc 1 & 2 & 3 & -1 2 & 0 & -1 & 1 1 & 1 & -1 & 1 ), B=(ccc 1 & 1 & 4 2 & -1 & 3 0 & 0 & 1 ), X=(c 1 1 -1 ) e Y=(l 2 0 1 3 )
Calcule os produtos A Y e B X diretamente, e também por meio de combinações lineares das colunas das respectivas matrizes.

Passo 1

O enunciado pede pra gente calcular dois produtos de matriz por vetor:
  1. A,Y, onde
A= 1 & 2 & 3 & -1 2 & 0 & -1 & 1 1 & 1 & -1 & 1 , Y=2013;
  1. B,X, onde
B= 1 & 1 & 4 2 & -1 & 3 0 & 0 & 1 , X=11-1
Conteúdo da matéria: produto de matriz por vetor (entendido como soma de produtos escalares linha–coluna) e interpretação disso como combinação linear das colunas da matriz. Vamos usar:
  • Produto escalar entre linha de A (ou B) e vetor Y (ou X).
  • A ideia de que A,Y = y1 a1 + y2 a2 + cdots + yn an, onde ai são as colunas de A.

Passo 2

Calcular A,Y diretamente, usando produto escalar em cada linha de A com Y:
Linha 1 de A: (1,2,3,-1)cdot(2,0,1,3) =1cdot2+2cdot0+3cdot1+(-1)cdot3 =2+0+3-3=2
Linha 2 de A: (2,0,-1,1)cdot(2,0,1,3) =2cdot2+0cdot0+(-1)cdot1+1cdot3 =4+0-1+3=6
Linha 3 de A: (1,1,-1,1)cdot(2,0,1,3) =1cdot2+1cdot0+(-1)cdot1+1cdot3 =2+0-1+3=4
Portanto,
A,Y=264

Passo 3

Agora A,Y como combinação linear das colunas de A. Definindo
a1=121,; a2=201,; a3=3-1-1,; a4=-111,
temos
A,Y =2,a1+0,a2+1,a3+3,a4
Calculando passo a passo:
2 a1= 242,
+0 a2= 000
242
+1 a3= 3-1-1
531
+3 a4= -333
264.
Confere com o resultado direto.

Passo 4

Calcular B,X diretamente, usando produto escalar em cada linha de B com X:
Linha 1 de B: (1,1,4)cdot(1,1,-1) =1cdot1+1cdot1+4cdot(-1) =1+1-4=-2
Linha 2 de B: (2,-1,3)cdot(1,1,-1) =2cdot1+(-1)cdot1+3cdot(-1) =2-1-3=-2
Linha 3 de B: (0,0,1)cdot(1,1,-1) =0+0+1cdot(-1)=-1
Logo
B,X=-2-2-1

Passo 5

Agora B,X como combinação linear das colunas de B. Definindo
b1=120,; b2=1-10,; b3=431,
temos
B,X =1,b1 +1,b2 +(-1),b3
Calculando:
b1+b2=210,
menos b3=431
2-41-30-1 =-2-2-1

Resposta

A,Y=264 e B,X=-2-2-1

Exercícios relacionados