Consideremos as matrizes
A=(cccc 1 & 2 & 3 & -1 2 & 0 & -1 & 1 1 & 1 & -1 & 1 ), B=(ccc 1 & 1 & 4 2 & -1 & 3 0 & 0 & 1 ), X=(c 1 1 -1 ) e Y=(l 2 0 1 3 )
Determine as matrizes 3 A, B A, B^2 e A^T B.

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A in R^3times4, B in R^3times3,
e pede para calcular a multiplicação escalar 3A, os produtos matriciais BA e B^2 e o produto do transposto de A por B, ou seja A^TB. Vamos usar as definições de multiplicação escalar, multiplicação de matrizes e transposição.

Passo 2

Para obter 3A basta multiplicar cada entrada de A por 3. Assim,
3A = 3cdot 1 & 2 & 3 & -1 2 & 0 & -1 & 1 1 & 1 & -1 & 1 = 3 & 6 & 9 & -3 6 & 0 & -3 & 3 3 & 3 & -3 & 3

Passo 3

Para calcular BA, usamos a definição de produto de matrizes: a entrada (i,j) de BA é soma do produto da linha i de B pela coluna j de A. Executando as contas, achamos
BA = 1 & 1 & 4 2 & -1 & 3 0 & 0 & 1 1 & 2 & 3 & -1 2 & 0 & -1 & 1 1 & 1 & -1 & 1 = 7 & 6 & -2 & 4 3 & 7 & 4 & 0 1 & 1 & -1 & 1

Passo 4

Para B^2 basta multiplicar B por si mesma:
B^2 = 1 & 1 & 4 2 & -1 & 3 0 & 0 & 1 1 & 1 & 4 2 & -1 & 3 0 & 0 & 1 = 3 & 0 & 11 0 & 3 & 8 0 & 0 & 1

Passo 5

Para A^TB primeiro escrevemos
A^T = 1 & 2 & 1 2 & 0 & 1 3 & -1 & -1 -1 & 1 & 1
e então multiplicamos por B:
A^TB = 1 & 2 & 1 2 & 0 & 1 3 & -1 & -1 -1 & 1 & 1 1 & 1 & 4 2 & -1 & 3 0 & 0 & 1 = 5 & -1 & 11 2 & 2 & 9 1 & 4 & 8 1 & -2 & 0

Resposta

3A = 3 & 6 & 9 & -3 6 & 0 & -3 & 3 3 & 3 & -3 & 3 , BA = 7 & 6 & -2 & 4 3 & 7 & 4 & 0 1 & 1 & -1 & 1 ,
B^2 = 3 & 0 & 11 0 & 3 & 8 0 & 0 & 1 , A^TB = 5 & -1 & 11 2 & 2 & 9 1 & 4 & 8 1 & -2 & 0

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