Encontre os produtos X^T Y e X Y^T, sendo
X=(l 1 2 1 ) e Y=(c 1 -1 3 )

Passo 1

Beleza, a questão é de Álgebra Linear e pede para a gente calcular dois produtos envolvendo vetores-coluna:
  1. X^TY, que é o produto interno (ou escalar) entre X e Y.
  2. X,Y^T, que é o produto externo (ou produto de matriz por matriz) entre X e Y.
    Para isso, precisamos saber:
  • Como transpor um vetor (trocar linhas por colunas).
  • A definição de produto escalar: se X=(x1,x2,x3)^T e Y=(y1,y2,y3)^T, então
X^T Y = x1y1 + x2y2 + x3y3
  • A definição de produto de uma matriz 3times1 por uma 1times3: gera uma matriz 3times3 cujos elementos são (XY^T)ij=xi,yj.

Passo 2

Vamos achar X^T Y.
Primeiro, escrevemos X e Y e a transposta de X:
X=121, X^T=(1;2;1), Y=1-13
Pelo produto escalar:
X^T Y = 1cdot1 + 2cdot(-1) + 1cdot3 = 1 - 2 + 3 = 2

Passo 3

Agora, X,Y^T.
X é 3times1 e Y^T é 1times3, então o resultado vai ser 3times3.
Cada elemento da matriz é dado por (XY^T)ij=xi,yj.
Como
X=121, Y^T=(1;-1;3),
fazendo a multiplicação linha a linha, coluna a coluna, temos:
X,Y^T = 1cdot1 & 1cdot(-1) & 1cdot3 2cdot1 & 2cdot(-1) & 2cdot3 1cdot1 & 1cdot(-1) & 1cdot3 = 1 & -1 & 3 2 & -2 & 6 1 & -1 & 3

Resposta

X^T Y = 2
X,Y^T = 1 & -1 & 3 2 & -2 & 6 1 & -1 & 3

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