Consideremos as matrizes
A=(cccc 1 & 2 & 3 & -1 2 & 0 & -1 & 1 1 & 1 & -1 & 1 ), B=(ccc 1 & 1 & 4 2 & -1 & 3 0 & 0 & 1 ), X=(c 1 1 -1 ) e Y=(l 2 0 1 3 )
Calcule os produtos X^T A e X^T B diretamente, e também por meio de combinações lineares das colunas das respectivas matrizes.

Passo 1

O que a gente tem: as matrizes
A= 1 & 2 & 3 & -1 2 & 0 & -1 & 1 1 & 1 & -1 & 1 , B= 1 & 1 & 4 2 & -1 & 3 0 & 0 & 1
e o vetor
X=11-1,
logo X^T=(1,1,-1).
O que precisamos fazer:
  1. Calcular X^T A e X^T B pelo jeito “padrão” de multiplicação matricial.
  2. Fazer de novo interpretando as combinação linear das colunas de A e de B.
    Para isso, basta saber a definição de produto matricial (produto interno de linha por coluna) e entender que, se aj é a j-ésima coluna de uma matriz, então (X^T M)j = X^T aj,.

Passo 2

Cálculo direto de X^T A usando produto de linha por coluna:
X^T A ;=;(1,1,-1), 1 & 2 & 3 & -1 2 & 0 & -1 & 1 1 & 1 & -1 & 1
Cada entrada do resultado é
(X^T A)1 &=1cdot1 +1cdot2 +(-1)cdot1 =2, (X^T A)2 &=1cdot2 +1cdot0 +(-1)cdot1 =1, (X^T A)3 &=1cdot3 +1cdot(-1)+(-1)cdot(-1) =3, (X^T A)4 &=1cdot(-1)+1cdot1 +(-1)cdot1 =-1

Passo 3

Mesma conta, mas vendo como combinação linear das colunas de A.
Denote as colunas de A por
a1=121,; a2=201,; a3=3-1-1,; a4=-111
Então
X^T A ;=;l(X^T a1,;X^T a2,;X^T a3,;X^T a4r),
onde por exemplo
X^T a1 =1cdot1 +1cdot2 +(-1)cdot1 =2,
e as outras colunas dão, na mesma ideia, 1,,3,,(-1).

Passo 4

Cálculo direto de X^T B:
X^T B ;=;(1,1,-1), 1 & 1 & 4 2 & -1 & 3 0 & 0 & 1
Cada entrada:
(X^T B)1 &=1cdot1 +1cdot2 +(-1)cdot0 =3, (X^T B)2 &=1cdot1 +1cdot(-1)+(-1)cdot0 =0, (X^T B)3 &=1cdot4 +1cdot3 +(-1)cdot1 =6

Passo 5

Como combinação linear das colunas de B, com
b1=120,; b2=1-10,; b3=431,
a gente vê
X^T B = l(X^T b1,;X^T b2,;X^T b3r) =(3,0,6)

Resposta

boxedX^T A = (2,;1,;3,;-1), X^T B = (3,;0,;6)

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