Demonstre as seguintes propriedades da adição, multiplicação e transposta de matrizes: sendo A, B e C matrizes de dimensões compatíveis em cada caso e alpha é um escalar.
(e) (alpha A)^T=alpha A^T

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a propriedade da transposta em relação à multiplicação por escalar. O conteúdo usado será a definição de transposta de matriz e de multiplicação de matriz por escalar. Precisamos lembrar que, se A=(aij), então l(A^Tr)ij=aji, e se alpha é escalar então (alpha A)ij=alpha,aij.

Passo 2

Começamos calculando a entrada (i,j) do lado esquerdo (alpha A)^T. Pela definição de transposta:
l((alpha A)^Tr)ij = (alpha A)ji
Em seguida aplicamos a regra de multiplicação por escalar:
(alpha A)ji = alpha,aji
Logo
l((alpha A)^Tr)ij = alpha,aji

Passo 3

Agora calculamos a entrada (i,j) do lado direito alpha A^T. Primeiro aplicamos a definição de multiplicação por escalar sobre A^T:
(alpha A^T)ij = alpha,l(A^Tr)ij
Em seguida usamos a definição de transposta em l(A^Tr)ij:
l(A^Tr)ij = aji
Portanto
(alpha A^T)ij = alpha,aji

Passo 4

Como mostramos que para todo par de índices (i,j) vale
l((alpha A)^Tr)ij = alpha,aji e (alpha A^T)ij = alpha,aji,
concluímos que matriz a matriz
(alpha A)^T = alpha A^T

Resposta

(alpha A)^T = alpha A^T

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