Demonstre as seguintes propriedades da adição, multiplicação e transposta de matrizes: sendo
e
matrizes de dimensões compatíveis em cada caso e
é um escalar.
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a propriedade da transposta em relação à multiplicação por escalar. O conteúdo usado será a definição de transposta de matriz e de multiplicação de matriz por escalar. Precisamos lembrar que, se
, então
, e se
é escalar então
.
Passo 2
Começamos calculando a entrada
do lado esquerdo
. Pela definição de transposta:
Em seguida aplicamos a regra de multiplicação por escalar:
Logo
Passo 3
Agora calculamos a entrada
do lado direito
. Primeiro aplicamos a definição de multiplicação por escalar sobre
:
Em seguida usamos a definição de transposta em
:
Portanto
Passo 4
Como mostramos que para todo par de índices
vale
concluímos que matriz a matriz