Verdadeiro ou Falso? Se for verdadeiro, demonstre. Se for falso, justifique.
Sejam A e B matrizes m times p e p times n, respectivamente. Se A possuir uma linha de zeros, então A B também possuirá uma linha de zeros.

Passo 1

Beleza, o enunciado é: “Verdadeiro ou Falso? Sejam A e B matrizes mtimes p e ptimes n. Se A tem uma linha de zeros, então AB também tem uma linha de zeros.”
Conteúdo: multiplicação de matrizes.
O que precisamos: lembrar que, para matrizes AinR^mtimes p e BinR^ptimes n, o elemento da linha i, coluna k de AB é
(AB)ik ;=; sumj=1^p Aij,Bjk

Passo 2

Vamos ver direitinho: suponha que a i-ésima linha de A seja toda zero. Isso significa
Ai1=0,;Ai2=0,;dots,;Aip=0
Agora olha o elemento (AB)ik dessa mesma linha i:
(AB)ik =sumj=1^p Aij,Bjk =sumj=1^p 0cdot Bjk =0
Isso vale para todo k=1,2,dots,n. Ou seja, toda a linha i de AB fica zerada também.

Resposta

A afirmação é Verdadeira, pois se a linha i de A é toda zero, então cada entrada (AB)ik=sumj=1^p AijBjk também é zero, garantindo que a linha i de AB seja uma linha de zeros.

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