Verdadeiro ou Falso? Se for verdadeiro, demonstre. Se for falso, justifique.
O produto de duas matrizes triangulares superiores é uma matriz triangular superior.
O produto de duas matrizes triangulares superiores é uma matriz triangular superior.
Passo 1
Enunciado resumido: queremos saber se “o produto de duas matrizes triangulares superiores é sempre uma matriz triangular superior”.
Conteúdo: Álgebra linear – definição de matriz triangular superior e multiplicação de matrizes.
O que vamos precisar:
Conteúdo: Álgebra linear – definição de matriz triangular superior e multiplicação de matrizes.
O que vamos precisar:
- Saber que uma matriz
é triangular superior se sempre que . - A fórmula do elemento
do produto , que é
Passo 2
Definição de triangular superior:
Se e
são matrizes
, elas são triangulares superiores se
Se
Ou seja, tudo abaixo da diagonal principal vale zero.
Passo 3
Prova de que
é triangular superior:
Para mostrar isso, pegamos um índice com e calculamos
Para mostrar isso, pegamos um índice com
Note que, em cada termo da soma, ou ocorre
-
, daí e então (pois é triangular superior),
ou -
, daí (pois é triangular superior).
Em qualquer caso, cada produto, logo a soma inteira vale zero:
Isso mostra que não há elemento não nulo abaixo da diagonal em
.
Resposta
Verdadeiro. A demonstração acima mostra que o produto de duas matrizes triangulares superiores é também triangular superior.