Verdadeiro ou Falso? Se for verdadeiro, demonstre. Se for falso, justifique.
O produto de duas matrizes triangulares superiores é uma matriz triangular superior.

Passo 1

Enunciado resumido: queremos saber se “o produto de duas matrizes triangulares superiores é sempre uma matriz triangular superior”.
Conteúdo: Álgebra linear – definição de matriz triangular superior e multiplicação de matrizes.
O que vamos precisar:
  1. Saber que uma matriz A=(aij) é triangular superior se aij=0 sempre que i>j.
  2. A fórmula do elemento (i,j) do produto AB, que é
(AB)ij ;=;sumk=1^n aik,bkj

Passo 2

Definição de triangular superior:
Se A=(aij) e B=(bij) são matrizes ntimes n, elas são triangulares superiores se
aij=0e bij=0 sempre que i>j
Ou seja, tudo abaixo da diagonal principal vale zero.

Passo 3

Prova de que AB é triangular superior:
Para mostrar isso, pegamos um índice com i>j e calculamos
(AB)ij =sumk=1^naik,bkj
Note que, em cada termo da soma, ou ocorre
  1. k<= j< i, daí i>k e então aik=0 (pois A é triangular superior),
    ou
  2. k>j, daí bkj=0 (pois B é triangular superior).
    Em qualquer caso, cada produto aikbkj=0, logo a soma inteira vale zero:
(AB)ij=0sempre que i>j
Isso mostra que não há elemento não nulo abaixo da diagonal em AB.

Resposta

Verdadeiro. A demonstração acima mostra que o produto de duas matrizes triangulares superiores é também triangular superior.

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