Seja G um grupo multiplicativo com elemento neutro e. Sendo a, b \in G, \operatorname{com} a \neq e \mathrm{e} b \neq e, tais que a^{3}=e e b^{2}=a b a^{-1}, calcule O(b).

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • G é um grupo multiplicativo com elemento neutro e.
  • Existem a,b\in G com a\neq e e b\neq e.
  • Vale \;a^{3}=e\;.
  • Vale \;b^{2}=a b a^{-1}\;.
O que a questão pede:
  • Calcular O(b), isto é, a ordem do elemento b (o menor inteiro positivo n tal que b^{n}=e).

Passo 2

Lembrete útil (definição e propriedade que usarei):
  • A ordem de um elemento b em um grupo, O(b), é o menor inteiro positivo n tal que b^{n}=e. Se não existe tal n, diz-se que a ordem é infinita.
  • Para qualquer x\in G e inteiro m\ge1, a conjugação por x respeita potências: x\,y^{m}x^{-1}=(x y x^{-1})^{m}. Vou usar isso para manipular expressões do tipo a(\cdot)a^{-1}.

Passo 3

Começo a explorar a relação \;b^{2}=a b a^{-1}\; aplicando conjugação repetida por a. Primeiro verifico o caso básico:
a b a^{-1} = b^{2}.
Agora calculo a^{2} b a^{-2}. Usando que conjugação é um homomorfismo sobre produtos e potências:
a^{2} b a^{-2} = a\,(a b a^{-1})\,a^{-1} = a\,b^{2}\,a^{-1} = (a b a^{-1})^{2} = (b^{2})^{2} = b^{4}.

Passo 4

Faço uma observação por indução (mostro de forma curta): suponha que para algum k\ge1 valha
a^{k} b a^{-k} = b^{2^{k}}.
Então
a^{k+1} b a^{-(k+1)} = a\bigl(a^{k} b a^{-k}\bigr)a^{-1} = a\,b^{2^{k}}a^{-1} = (a b a^{-1})^{2^{k}} = (b^{2})^{2^{k}} = b^{2^{k+1}}.
A base k=1 já foi verificada, logo a fórmula vale para todo k\in\mathbb{N}:
\boxed{\,a^{k} b a^{-k} = b^{2^{k}}\,.}

Passo 5

Agora tomo k=3. Pela fórmula:
a^{3} b a^{-3} = b^{2^{3}} = b^{8}.
Mas como \;a^{3}=e\;, tem-se a^{3} b a^{-3}=e\,b\,e=b. Portanto
b = b^{8}.
Multiplicando à direita por b^{-1} obtemos
b^{7}=e.

Passo 6

A igualdade \;b^{7}=e\; mostra que a ordem de b divide 7. Os divisores positivos de 7 são apenas 1 e 7. Como foi dado que b\neq e, a ordem não pode ser 1. Logo necessariamente
O(b)=7.

Resposta

O(b)=7

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