Seja
um grupo multiplicativo com elemento neutro
. Sendo
, tais que
e
, calcule
.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações:
-
é um grupo multiplicativo com elemento neutro . - Existem
com e . - Vale
. - Vale
.
O que a questão pede:
- Calcular
, isto é, a ordem do elemento (o menor inteiro positivo tal que ).
Passo 2
Lembrete útil (definição e propriedade que usarei):
- A ordem de um elemento
em um grupo, , é o menor inteiro positivo tal que . Se não existe tal , diz-se que a ordem é infinita. - Para qualquer
e inteiro , a conjugação por respeita potências: . Vou usar isso para manipular expressões do tipo .
Passo 3
Começo a explorar a relação
aplicando conjugação repetida por
. Primeiro verifico o caso básico:
Agora calculo
. Usando que conjugação é um homomorfismo sobre produtos e potências:
Passo 4
Faço uma observação por indução (mostro de forma curta): suponha que para algum
valha
Então
A base
já foi verificada, logo a fórmula vale para todo
:
Passo 5
Agora tomo
. Pela fórmula:
Mas como
, tem-se
. Portanto
Multiplicando à direita por
obtemos
Passo 6
A igualdade
mostra que a ordem de
divide
. Os divisores positivos de
são apenas
e
. Como foi dado que
, a ordem não pode ser
. Logo necessariamente