Consideremos o operador T: R^4 R^4, definido por:
T(x, y, z, w)=(3 x, 3 y, 2 x-7 y+z+w,-5 x+2 y-z+3 w).
Para cada operator, encontre o que se pede a seguir:
As multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor.

Passo 1

O enunciado define o operador linear T:R^4toR^4 dado por
T(x,y,z,w) = (3x,;3y,;2x-7y+z+w,;-5x+2y-z+3w)
O conteúdo é autovalores e autovetores de uma matriz 4times4. Para resolver, precisamos:
  1. Escrever a matriz A de T na base canônica.
  2. Calcular o polinômio característico para achar as multiplicidades algébrica.
  3. Calcular as dimensões dos espaços nulos de A-lambda I para cada autovalor lambda, obtendo a multiplicidade geométrica.

Passo 2

Na base canônica, a matriz de T é
A = 3 & 0 & 0 & 0 0 & 3 & 0 & 0 2 & -7 & 1 & 1 -5 & 2 & -1 & 3
Note que A é em bloco triangular da forma
A = 3I2 & 0 C & B ,
com 3I2 bloco 2times2, B=1&1-1&3.

Passo 3

Como A é triangular em blocos, o polinômio característico fatora como
chiA(lambda) = det(3I2-lambda I2),det(B-lambda I2) = (3-lambda)^2det!l(1-lambda&1-1&3-lambdar)
Calculamos
det1-lambda&1-1&3-lambda =(1-lambda)(3-lambda)+1 =lambda^2-4lambda+4=(lambda-2)^2
Logo
chiA(lambda)=(3-lambda)^2(lambda-2)^2

Passo 4

Do polinômio chiA(lambda) vemos dois autovalores:
lambda=3 com multiplicidade algébrica 2, e lambda=2 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 5

Para a multiplicidade geométrica, calculamos dimker(A-lambda I) em cada caso.
(a) Se lambda=3, então
A-3I= 0&0&0&0 0&0&0&0 2&-7&-2&1 -5&2&-1&0
As duas primeiras linhas são nulas, e as duas últimas formam um sistema independente de 2 equações em 4 incógnitas. Logo
dimker(A-3I)=4-2=2
(b) Se lambda=2, então
A-2I= 1&0&0&0 0&1&0&0 2&-7&-1&1 -5&2&-1&1
As duas primeiras equações impõem x=0 e y=0. As duas últimas reduzem-se a -z+w=0 (repetida). São 3 equações independentes em 4 incógnitas, logo
dimker(A-2I)=4-3=1

Resposta

Autovalor lambda=3: multiplicidade algébrica 2, geométrica 2.
Autovalor lambda=2: multiplicidade algébrica 2, geométrica 1.

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