Consideremos o operador T: R^4 R^4, definido por:
T(x, y, z, w)=(3 x, 3 y, 2 x-7 y+z+w,-5 x+2 y-z+3 w).
Para cada operator, encontre o que se pede a seguir:
T é diagonalizável? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear
T:R^4toR^4, T(x,y,z,w)=(3x,,3y,,2x-7y+z+w,,-5x+2y -z+3w)
e pergunta se T é diagonalizável. Para responder isso, vamos:
1. Escrever a matriz de T na base canônica.
2. Calcular os autovalores (multiplicidades algébricas).
3. Determinar a dimensão de cada autovetor (multiplicidade geométrica).
4. Comparar as multiplicidades e concluir.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3,e4 tem-se
T(e1)=(3,0,2,-5),; T(e2)=(0,3,-7,2),; T(e3)=(0,0,1,-1),; T(e4)=(0,0,1,3)
Logo a matriz de T é
A = 3 & 0 & 0 & 0 0 & 3 & 0 & 0 2 & -7 & 1 & 1 -5 & 2 & -1 & 3
Como A é triangular por blocos
A=3I2 & 0 C & D
com D=1&1-1&3, seus autovalores são os de 3I2 (dois valores 3) e os de D.

Passo 3

O polinômio característico de D é
detl(D-lambda Ir) =(1-lambda)(3-lambda)-(-1)cdot1 =lambda^2-4lambda+4 =(lambda-2)^2
Logo os autovalores de T são
lambda=3(alg mu< 2), lambda=2(alg mu< 2)

Passo 4

Agora achamos a multiplicidade geométrica de cada autovalor:
Para lambda=3:
A-3I= 0&0&0&0 0&0&0&0 2&-7&-2&1 -5&2&-1&0 ,
o sistema (A-3I)v=0
2x-7y-2z+w=0, -5x+2y-z=0
Resolvendo, há dois parâmetros livres (x,y), e a dimensão do espaço próprio é 2.
Para lambda=2:
A-2I= 1&0&0&0 0&1&0&0 2&-7&-1&1 -5&2&-1&1 ,
o sistema (A-2I)v=0 impõe
x=0,;y=0,;-z+w=0,
logo vetores próprios têm a forma (0,0,z,z), dimensão 1.

Passo 5

Para ser diagonalizável, cada autovalor precisa ter multiplicidade geométrica igual à algébrica. Aqui:
  • lambda=3 tem alg. mult. 2 e geom. mult. 2.
  • lambda=2 tem alg. mult. 2 e geom. mult. 1.
Como para lambda=2 a multiplicidade geométrica é menor que a algébrica, não há base de autovetores completa.

Resposta

T não é diagonalizável, pois o autovalor lambda=2 tem multiplicidade geométrica 1 inferior à sua multiplicidade algébrica 2.

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