Consideremos o operador , definido por: .
Para cada operator, encontre o que se pede a seguir:
Os autovalores e os autoespaços.
Passo 1
O enunciado pede os autovalores e autoespaços do operador linear
O conteúdo usado será: (i) representar por sua matriz em base canônica; (ii) calcular o polinômio característico para obter os autovalores; (iii) resolver para achar cada autoespaço.
Passo 2
Em relação à base canônica , a matriz de é
Note que A é triangular por blocos da forma
A=B & C0 & D
com
B=3 & -19 & -3, D=4 & -82 & -4
Passo 3
O polinômio característico de A fatora como
chiA(lambda)=det(B-lambda I2);det(D-lambda I2)
Para B temos trB=0 e det B=0, logo
det(B-lambda I)=lambda^2
De modo análogo, trD=0, det D=0 e
det(D-lambda I)=lambda^2
Portanto
chiA(lambda)=lambda^4,
e o único autovalor, de multiplicidade algébrica 4, é
lambda=0
Passo 4
O autoespaço associado a é
isto é, as soluções de
Escrevendo as equações: , , , .
Das duas últimas vem . Substituindo em e obtemos a mesma relação
Logo há dois graus de liberdade, podemos pôr
com .
Passo 5
Assim o autoespaço é de dimensão 2 e pode ser escrito como