Consideremos o operador T: R^4 R^4, definido por:
T(x, y, z, w)=(3 x-y+z-7 w, 9 x-3 y-7 z-w, 4 z-8 w, 2 z-4 w).
Para cada operator, encontre o que se pede a seguir:
Os autovalores e os autoespaços.

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autoespaços do operador linear
Tcolon R^4toR^4, T(x,y,z,w)=(3x-y+z-7w,;9x-3y-7z-w,;4z-8w,;2z-4w)
O conteúdo usado será: (i) representar T por sua matriz em base canônica; (ii) calcular o polinômio característico para obter os autovalores; (iii) resolver (A-lambda I)v=0 para achar cada autoespaço.

Passo 2

Em relação à base canônica e1,e2,e3,e4, a matriz de T é
A= 3 & -1 & 1 & -7 9 & -3 & -7 & -1 0 & 0 & 4 & -8 0 & 0 & 2 & -4
Note que A é triangular por blocos da forma
A=B & C0 & D
com
B=3 & -19 & -3, D=4 & -82 & -4

Passo 3

O polinômio característico de A fatora como
chiA(lambda)=det(B-lambda I2);det(D-lambda I2)
Para B temos trB=0 e det B=0, logo
det(B-lambda I)=lambda^2
De modo análogo, trD=0, det D=0 e
det(D-lambda I)=lambda^2
Portanto
chiA(lambda)=lambda^4,
e o único autovalor, de multiplicidade algébrica 4, é
lambda=0

Passo 4

O autoespaço associado a é
isto é, as soluções de
Escrevendo as equações:
,
,
,
.
Das duas últimas vem . Substituindo em e obtemos a mesma relação
Logo há dois graus de liberdade, podemos pôr
com .

Passo 5

Assim o autoespaço é de dimensão 2 e pode ser escrito como
E0=(s,,3s-5t,,2t,,t)mid s,tinR =span(1,3,0,0),,(0,-5,2,1)

Resposta

O único autovalor é lambda=0 (multiplicidade algébrica 4, multiplicidade geométrica 2) e seu autoespaço é
E0=ker A=span(1,3,0,0),,(0,-5,2,1)

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