Consideremos o operador T: R^4 R^4, definido por:
T(x, y, z, w)=(3 x-y+z-7 w, 9 x-3 y-7 z-w, 4 z-8 w, 2 z-4 w).
Para cada operator, encontre o que se pede a seguir:
As multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores de T:R^4toR^4 e, para cada autovalor, suas multiplicidades algébrica e geométrica. Vamos precisar representar T por sua matriz na base canônica, calcular o polinômio característico para achar as multiplicidades algébricas e depois resolver (T-lambda I)v=0 para obter as geométricas.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3,e4 temos
T(e1)=(3,9,0,0), T(e2)=(-1,-3,0,0), T(e3)=(1,-7,4,2), T(e4)=(-7,-1,-8,-4)
Logo a matriz de T é
A= 3 & -1 & 1 & -7 9 & -3 & -7 & -1 0 & 0 & 4 & -8 0 & 0 & 2 & -4

Passo 3

Como A é em bloco triangular inferior,
chiA(lambda)=det(A-lambda I) =det 3-lambda & -1 [6pt] 9 & -3-lambda ;cdot; det 4-lambda & -8 [3pt] 2 & -4-lambda
Calculando cada determinante:
det 3-lambda & -1 9 & -3-lambda =(3-lambda)(-3-lambda)-(-1)cdot9 =lambda^2,
det 4-lambda & -8 2 & -4-lambda =(4-lambda)(-4-lambda)-(-8)cdot2 =lambda^2
Portanto
chiA(lambda)=lambda^2cdotlambda^2=lambda^4 ]

Passo 4

Do polinômio chiA(lambda)=lambda^4 concluímos que o único autovalor é
lambda=0
com multiplicidade algébrica igual a 4.

Passo 5

Para a multiplicidade geométrica, resolvemos ker A, ou seja o sistema
3x - y + z - 7w=0,
9x - 3y - 7z - w=0,
4z - 8w=0,
2z - 4w=0
As duas últimas dão z=2w. Substituindo na primeira, 3x - y +2w -7w=0implies y=3x-5w. A segunda é redundante (equivale a 3 vezes a primeira). Sobram duas variáveis livres ( x e w), então
dimker A=2
Isso mostra que a multiplicidade geométrica de lambda=0 é 2.

Resposta

lambda=0 tem multiplicidade algébrica 4 e multiplicidade geométrica 2.

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