Consideremos o operador , definido por: .
Para cada operator, encontre o que se pede a seguir:
As multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os autovalores de e, para cada autovalor, suas multiplicidades algébrica e geométrica. Vamos precisar representar por sua matriz na base canônica, calcular o polinômio característico para achar as multiplicidades algébricas e depois resolver para obter as geométricas.
det 3-lambda & -1 9 & -3-lambda =(3-lambda)(-3-lambda)-(-1)cdot9 =lambda^2,
det 4-lambda & -8 2 & -4-lambda =(4-lambda)(-4-lambda)-(-8)cdot2 =lambda^2
Portanto
chiA(lambda)=lambda^2cdotlambda^2=lambda^4 ]
Passo 4
Do polinômio chiA(lambda)=lambda^4 concluímos que o único autovalor é
lambda=0
com multiplicidade algébrica igual a 4.
Passo 5
Para a multiplicidade geométrica, resolvemos ker A, ou seja o sistema
3x - y + z - 7w=0,
9x - 3y - 7z - w=0,
4z - 8w=0,
2z - 4w=0
As duas últimas dão z=2w. Substituindo na primeira, 3x - y +2w -7w=0implies y=3x-5w. A segunda é redundante (equivale a 3 vezes a primeira). Sobram duas variáveis livres (x e w), então
dimker A=2
Isso mostra que a multiplicidade geométrica de lambda=0 é 2.
Resposta
lambda=0 tem multiplicidade algébrica 4 e multiplicidade geométrica 2.