Consideremos o operador T: R^4 R^4, definido por:
T(x, y, z, w)=(3 x-y+z-7 w, 9 x-3 y-7 z-w, 4 z-8 w, 2 z-4 w).
Para cada operator, encontre o que se pede a seguir:
O polinômio característico.

Passo 1

O enunciado define um operador linear T:R^4toR^4 dado por
T(x,y,z,w) = (,3x - y + z - 7w,;9x -3y -7z - w,;4z - 8w,;2z -4w,)
Queremos encontrar o polinômio característico de T, ou seja
chiT(lambda)=det(A - lambda I4), onde A é a matriz de T
na base canônica e I4 é a identidade 4times4.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a matriz A de T na base canônica e1,e2,e3,e4.
Pelos coeficientes de T(x,y,z,w) obtemos
A = 3 & -1 & 1 & -7 9 & -3 & -7 & -1 0 & 0 & 4 & -8 0 & 0 & 2 & -4
Note que, ao bloquear as linhas e colunas em duas partes 1,2 e 3,4,
ficamos com
A = B & C 0 & D ,
once
B = 3 & -1[6pt]9 & -3, D = 4 & -8[3pt]2 & -4
]

Passo 3

Como A é bloco–triangular superior, temos
det(A - lambda I4) ;=;det(B - lambda I2),det(D - lambda I2)
Vamos calcular cada determinante separadamente.

Passo 4

Para o bloco B temos
B - lambda I2 = 3-lambda & -1[3pt] 9 & -3-lambda ,
então
det(B - lambda I2) =(3-lambda)(-3-lambda)-(-1)cdot9 =-9 + lambda^2 +9 =lambda^2
]

Passo 5

Para o bloco D temos
D - lambda I2 = 4-lambda & -8[3pt] 2 & -4-lambda ,
então
det(D - lambda I2) =(4-lambda)(-4-lambda)-(-8)cdot2 =-16 + lambda^2 +16 =lambda^2
]

Passo 6

Multiplicando os resultados:
chiT(lambda) =det(B - lambda I2),det(D - lambda I2) =lambda^2cdotlambda^2 =lambda^4

Resposta

O polinômio característico de T é
chiT(lambda)=lambda^4

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